Пример решения типовой расчета

Пример решения типовой расчета

Задание №1.

Даны матрицы и . Найти:

1) матрицы и ;

2) определители матриц и ;

3) обратную матрицу (сделать проверку).

; ;

Решение.

1) Транспонируем матрицу , заменив строки столбцами.

Получим .

Тогда матрица равна:

Теперь найдем матрицу :

2) Будем вычислять определители матриц различными способами.

Найдем определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки:

Вычислим определитель матрицы , используя свойства определителей (римскими цифрами обозначены номера строк):

Вычислим определитель матрицы по правилу треугольников:

3) Матрица – неособенная ( ), следовательно, она имеет обратную. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

Составим из алгебраических дополнений присоединенную матрицу и разделим ее элементы на определитель матрицы .

Тогда обратная матрица окажется равной:

Сделаем проверку:

Самостоятельно проверить, что !

Ответ: 1) ; ; 2)

Задание №2.

Решить систему линейных уравнений

1) методом Крамера; 2) матричным методом; 3) методом Гаусса.

Решение.

1) Выпишем матрицу системы и найдем ее определитель (например, по правилу треугольников):

Теперь найдем вспомогательные определители , заменяя в исходной матрице -ый столбец на столбец свободных членов ( = 1, 2, 3).

Получим:

Применяя формулы Крамера, найдем решение системы:

т. е. .

Сделаем проверку (самостоятельно! ) и убедимся, что найденные значения неизвестных действительно являются решением исходной системы.

2) Матричный метод решения системы основывается на формуле:

, где – столбец неизвестных, – обратная матрица системы, – столбец свободных членов.

Матрица – неособенная ( ), следовательно, она имеет обратную. Найдем (см. задание 1).

Проверьте самостоятельно, что обратная матрица найдена верно!

Тогда . Следовательно, .

3) Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных.

Составим расширенную матрицу, приписав справа к матрице системы столбец свободных членов. Преобразуем полученную матрицу с помощью элементарных преобразований и приведем её к трапециевидной форме («прямой ход Гаусса»). Заметим, что при решении систем, преобразуют только строки матрицы!

Получим систему, равносильную исходной:

Прочитав её снизу вверх («обратный ход Гаусса»), получим:

Ответ: .

Задание №3.

Найти ранг матрицы

Решение.

Приведем данную матрицу с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме. Заметим, что, вычисляя ранг матрицы, можно преобразовывать как строки, так и столбцы!

Из второго, третьего и четвертого столбца полученной матрицы можно составить определитель (минор), отличный от нуля (он выделен пунктиром). Это наибольший по размеру ненулевой минор (базисный минор), следовательно, его размерность и равна рангу матрицы, т. е. Ответ:

Задание №4.

Исследовать систему с помощью теоремы Кронекера–Капелли и найти (в случае совместности) ее решения.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её с помощью элементарных преобразований к трапециевидной форме.

Наибольший порядок ненулевого минора, как матрицы системы, так и расширенной матрицы системы равен 2: Следовательно, согласно теореме Кронекера-Капелли, система совместна, т. е. имеет решения. Поскольку число неизвестных ( ) больше ранга матрицы, то система является неопределенной, т. е. имеет бесконечное множество решений.

Найдем общее решение системы. Базисные неизвестные – это , коэффициенты при которых входят в ненулевой (базисный) минор. Остальные неизвестные – параметрические или свободные. Решим систему относительно базисных неизвестных (читаем снизу вверх).

Итак, придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесконечно много частных решений системы.

Общее решение можно записать в виде: ,

где – любые числа.

Подставив полученные выражения для неизвестных в исходную систему, убеждаемся в том, что решение найдено верно (сделать проверку самостоятельно! ).

Ответ: , где – любые числа.

Задание №5.

Доказать, что векторы линейно зависимы и найти эту зависимость:

Решение.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю. Имеем:

Значит, векторы линейно зависимы. Найдем эту зависимость.

Выразим один из векторов, например , через остальные. Другими словами, найдем коэффициенты и в разложении:

Распишем последнее равенство по координатам, получим систему:

Решим систему методом Гаусса:

Итак,

Ответ:

Задание №6.

Дан

Найти:

1) длину и уравнение стороны ;

2) длину и уравнение медианы ;

3) длину и уравнение высоты ;

4) площадь ;

5) угол .

Решение.

1) Используем уравнение прямой на плоскости через две точки:

Подставляя координаты точек , получим:

– уравнение стороны .

Длина стороны равна длине вектора .

ед.

2) Точка – середина отрезка .

Итак, Уравнение медианы будет иметь вид:

Длина медианы равна длине вектора

ед.

3) Для высоты используем уравнение прямой на плоскости через точку и нормаль: , где нормаль – вектор перпендикулярный прямой, а точка принадлежит данной прямой.

Имеем

– уравнение высоты .

Длина высоты – расстояние от точки до прямой . Уравнение прямой имеет вид:

Используем формулу расстояния от точки до прямой :

Получим: ед.

4) Площадь можно найти по формуле: , где – координаты вершин треугольника.

Имеем: кв. ед.

Замечание. Вычисленное значение площади можно проверить по формуле: (верно! ).

5) Угол находим как угол между векторами и .

Ответ: 1) Сторона ед.;

2) медиана ед.;

3) высота ед.;

4) кв. ед.; 5)

Задание №7.

Дана пирамида

Найти:

1) длину и уравнение ребра ;

2) площадь и уравнение грани ;

3) объем пирамиды;

4) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость

;

5) угол между ребром и гранью .

6) угол между гранями и

Решение.

1) Используем уравнение прямой в пространстве через две точки:

Подставляя координаты точек , получим:

– уравнение ребра .

Длина стороны равна длине вектора .

ед.

2) Площадь грани равна площади , которую можно найти через векторное произведение по формуле:

кв. ед.

Уравнение грани – это уравнение плоскости через три точки:

Подставляя в это уравнение координаты точек , получим уравнение грани :

3) Объем пирамиды равен модуля смешанного произведения векторов . Найдем координаты векторов:

Тогда смешанное произведение равно:

куб. ед.

4) Из уравнения грани : найдем координаты вектора нормали , расположенного перпендикулярно плоскости , а значит параллельно высоте, опущенной из вершины .

Используем каноническое уравнение прямой в пространстве:

Подставляя вместо координаты точки , а вместо координаты вектора нормали , получим уравнение высоты:

Длина высоты – расстояние от точки до плоскости . Используем формулу

Получим: ед.

5) Угол между ребром и гранью найдем как угол между векторами .

Имеем:

Заметим, что угол по определению всегда острый. Поэтому, если окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

6) Угол между гранями и найдем как угол между нормалями к этим граням. Плоскость имеет уравнение и, следовательно, её нормаль . Напишем уравнение плоскости :

Тогда её нормаль . Находим косинус угла между векторами и :

Замечание. Угол по определению всегда острый. Поэтому, если косинус окажется меньше нуля, то его значение надо взять по модулю!

Ответ: 1) ед.;

2) : ; кв. ед.;

3) куб. ед.;

4) – уравнение высоты; длина высоты ед.;

5) 6)

Задание №8.

Определить, какая линия на плоскости задается уравнением. Сделать чертеж.

1) ; 2) ;

3) .

Решение.

1) Преобразуем данное уравнение, выделив полные квадраты:

Получим уравнение эллипса с центром в точке с координатами и полуосями (рис. 1).

2) Данное уравнение задает в полярной системе координат кривую – кардиоиду.

Меняя от до , вычислим значения полярного радиуса :

При изменении от до 2 значения будут меняться от до в обратном порядке.

Построим кривую по точкам. Направим полярную ось вдоль оси и поместим полюс в начало координат (рис. 2).

3) В данном случае кривая задана параметрически: .

Кривая называется астроидой. Её можно построить по точкам, изменяя параметр от до 2 (рис. 3). Составим таблицу значений и для от до /2 (в остальных четвертях значения будут повторяться с учетом знака):

Задание №9.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы из задания №1.

Собственными называются число и ненулевой вектор , удовлетворяющие уравнению: , где – матрица.

Собственные числа находятся из характеристического уравнения: , где – единичная матрица.

Для нахождения собственного вектора , соответствующего собственному числу , надо решить однородную систему уравнений: .

Составляем и решаем характеристическое уравнение для матрицы :

Найдем собственные векторы из системы уравнений:

Подставляя , получим

Система имеет бесчисленное множество решений. Положим ,

тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Аналогично, для имеем

Положим , тогда – собственный вектор, соответствующий собственному числу .

Ответ:

Замечания.

1) Если вектор является собственным вектором, соответствующим собственному числу , то для любого числа вектор – тоже собственный вектор, соответствующий .

2) Одному собственному числу может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов.

3) Собственному числу, кратности больше единицы, может соответствовать несколько линейно независимых собственных векторов (например, для симметрических матриц).