Компас жүйесіндегі сынық сызықтар және сплайн қисықтар

Векторлық графика секілді фракталды графика математикалық есептеулерде негізделеде. Фракталды графиканың базалық элементі математикалық ө рнектің ө зі болып табылады, яғ ни компьютер есінде ешқ андай объекттер сақ талмайды. Кескін тек қ ана тең деулер бойынша жасалады. Бұ ндай ә діспен ең қ арапайым жү йелі қ ұ рылымдарды да, ү ш ө лшемді объекттерді имитациялайтын кү рделі иллюстрацияларды да қ ұ райды.

Ү ш ө лшемді графика кең інен қ олдануда. Мысал ретінде ү ш ө лшемдік ү лгілеудің ең кү рделі тү рін – нақ ты физикалық дененің қ озғ алмалы кескінің қ ұ руды қ арастырайық.

Объектті жең ілдетілген тү рде кең істікте ү лгілеу ү шін қ ажет:

– объекттің нақ ты формасына ең толық сә йкес келетін виртуал (мү мкінді) нұ сқ асын (қ анқ асын) жобалау жә не жасау;

– объект бетінің тү рлі бө ліктеріне жадығ ат беру;

– объект ә сер ететін кеністіктің физикалық параметрлерін жө нге келтіру – жарық пен гравитацияны, атмосфера қ асиеттерін, ө з ара ә рекеттесетін объекттер мен беттер қ асиеттерін беру;

– объекттер қ озғ алу траекторияларын беру;

– кадрлардың нә тижелілік жү йелілігін есептеу

– қ орытынды анимациялық суретке беттік нә тижелерін салу.

Объекттің шың ү лгісін жасау ү шін геометриялқ қ арапайымдылық тарды (примитивы) – тікбұ рыш, куб, шар, конус т. б. – жә не сплайн деп аталатын жұ мыр беттер пайдаланылады. Осы кезде бет тү рі кең істікте орналасқ ан тірек нү ктелері торымен анық талады. Ә рбір нү ктеге коэффициент беріледі. Оның мә ні сол нү кте манайындағ ы бет бө лігіне нү ктенің ә сер ету дә режесін анық тайды. Бет пішіні мен «жұ мырлығ ы» нү ктелердің ө з ара орналасуына жә не коэффициенттер шмамсына тә уелді. Арнаулы қ ұ ралдар берілген физикалық ү лгі негізінде ө з ара ә рекеттесуларын есепке алып сол объект қ ұ райтын қ арапайымдылық тарды бұ ртұ тас нә рсе ретінде ө ң деуге мү мкіндік береді.

Объект деформациясы қ асында орналасқ ан бақ ылау нү ктелерінің орнын ауыстыруымен қ амтамасыз етіледі. Басқ а ә дісін деформация торы деп атайды. Объект не оның бір бө лігі манайында ү ш ө лшемдік тор орнатылады. Тордың кез келген нү ктесінің орын ауыстыруы тор мен қ оршалғ ан объекттің серпімді деформациясын тудырады.

Қ арапайымдылық тардан объект қ ұ растырудың тағ ы бір тү рі қ атты денелі ү лгілеу болып табылады. Объекттер басқ а денелермен ә рекеттескенде тү рлі тә сілдермен (қ осылу, алыну, бірігу т. б. ) тиісті ө згеріске ұ шырайтын қ атты денелерден тұ рады. Мысалы, тік бұ рышты параллелепипедтен шар алғ анда параллелепипедте жарты шең бер тү ріндегі ойық пайда болады.

Объект «қ анқ асы» тү зілген соң оның бетін жадығ аттармен қ аптау керек. Компьютерлік ү лгілеуде материалдар қ асиеттерінің алуан тү рлігі бет бейнеленуіне (визуализация) – бет мө лдірлігі коэффициенті мен жадығ ат пен қ оршалан орта арасындағ ы жарық сә улесінің сынуы коэффициентін есептеуге келтіріледі. Материал бетін қ ұ ру ү шін бес негізгі физикалық ү лгі қ олданады: ақ дақ тарсыз (без бликов) диффузді шағ ылумен беттер (мысалы, кү ң гірт пластик), қ ұ рылымданғ ан шағ ын тегіс еместіктермен беттер (мысалы, металл), ерекше таралғ ан шағ ын тегіс еместіктермен беттер (мысалы, жалтырақ ), жарық сә улесінің полярлануын есепке алуғ а мү мкіндік беретін ү лгі, шағ ылу бағ ытын жә не жарық сә улесінің сынуы параметрлерін тү зетуге мү мкіндік беретін ү лгі.

Бет қ асиеттері жасалатын текстура массивтерінде (екі не ү ш ө лшемді) баяндалады. Онда жадығ ат мө лдірлігінің дә режесі, сынуы коэффициенті, ә р нү ктенің тү сі, блик тү сі, ені мен ашық тығ ы, шашыраң қ ы (фон) жарық тү сі, векторлардың нормальдан жергілікті ығ ысулары (яғ ни бет кедір-бұ рырлығ ы есепке алынады) туралы деректер болады.

Векторлы графикада негізгі элемент болып сызық табылады. Ол бірынғ ай объект ретінде математикалық жазылады, соң дық тан векторлы графика қ ұ ралдармен бейнелеу ү шін дерек мө лшері растрлы графикасындығ ынан айтарлық тай кем.

Сызық – векторлы графиканың қ арапайым объекті. Ол пішінге (тү зу, қ исық ), қ алың дық қ а, тү ске, кескінге (тұ тас, ұ зілме) ие. Тұ йық сызық тар толтырылу қ асиетін қ абылдайды. Олар қ амтиғ ан орын басқ а объекттермен не тандалғ ан тү спен толтырыла алады. Ең қ арапайым тұ йық емес сызық тү йін деген екі нү ктемен шеттеледі. Тү йіндер де белгілі қ асиеттеріне ие. Олардың кө рсеткіштері сызық ұ шы пішіні мен басқ а объекттермен жанасу сипатына ә сер етеді.

Векторлы графиканың басқ а бар объекттері сызық тардын қ ұ ралады. Мысалы, кубты бір бірімен байланысқ ан алты тікбұ рыштан қ ұ ру мү мкін. Олардың ә рбірі ө з ретінде тө рт байланысқ ан сызық тан тұ рады. Соң дай-ақ кубты куб қ ырларын тү зетін он екі байланысқ ан сызық тү рінде қ арастыру мү мкін.

Векторлы графиканың математикалық негізі ретінде аналитикалық геометрияның ережелері болып табылады.

Кең істіктегі нү кте оның координата басы туралы орналасуын кө рсететін екі санмен (х, у) бейнеленеді. Тү зу сызық қ а у = kx + b тең деу сай келеді. Белгілі координата жү йесінде k мен b параметрлерін кө рсетіп ә рқ ашан шексіз тү зу сызық ты бейнелеуге болады, яғ ни тұ зу сызық ты беру ү шін екі-ақ кө рсеткіш жеткілікті. Тұ зу сызық кесіндісінің айырмашылығ ы оны жазу ү шін қ осымша тағ ы екі параметрі қ ажет, мә селен, кесінді басы мен ұ шының х₁ мен х₂ координаталары.

Тең деулер дә режесі екіні аспайтын бү кіл сызық тар (параболалар, гиперболалар, эллипстер, шең берлер) екі тә ртіпті қ исық сызық тар класына жатады. Екі тә ртіпті қ исық сызық та бү гілу нү ктелері жоқ. Тү зу сызық тар екі тә ртіпті қ исық сызық тардың кездейсоқ жағ дайы болып табылады. Жалпы жағ дайда, екі тә ртіпті қ исық сызық тың тең деуі мынадай:

x² + a₁y² + a₂ xy + a₃x + a₄y + a₅ = 0.

Сонымен, екі тә ртіпкі шексіз қ исық сызық жазу ү шін бес параметр жетеді. Егер қ исық сызық тың кесіндісін салу қ ажет болса, сонда тағ ы екі кө рсеткіш керек.

Ү шінші тә ртіпті қ исық сызық тың ө згешелігі бү гілу нү ктесінің бар болу мү мкіншілігі. Мысалы, y = x³ функциясының графигі координата басында бү гілу нү ктесіне ие (5-сурет). Тү зу сызық тар сияқ ты барлық екі тә ртіпті қ исық сызық тар ү ш тә ртіпті қ исық сызық тардың ерекше тү рі болып табылады.

Ү ш тә ртіпті қ исық сызық тың жалпы алынғ ан тең деуі былай жазылады:

x³ + a₁y³ + a₂ x²y + a₃xy² + a₄x² + a₅y² + a₆xy + a₇x + a₈y + a₉= 0.

Сө йтіп, ү штә ртіптіқ исық сызық баяндауғ атоғ ызкө рсеткішкерек. Оның кесіндісіү шінтағ ыекіпараметрқ осылады.

Безьеқ исық сызығ ы – бұ лү штә ртіптіқ исық сызық тардың арнаулыжең ілдетілгентү рі (5-сурет). Безьеқ исық сызығ ынқ ұ рутә сілісызық кесіндісіұ штарынажү ргізілгенжанамалардың жұ бынпайдалануданегізделеді. Безьеқ исық сызық кесінділерісегізпараметріменжазылады, солсебептіоларменжұ мысістеуқ олайлырақ.

Кейкездесызық ұ ғ ымыорнынанұ сқ а (контур) сө зколданады. Бұ латаувекторлық графиканегізгіобъектісімаң ызынтолығ ырақ тү сіндіреді, ө йткеніконтуркезкелгенпішінінеиеболуық тимал – тұ зусызық, қ исық сызық, сың ық сызық ә лдекейбірфигура.

Ә рбірнұ сқ аекінемесебірнешетірекнү ктесінеие. Олар де тү йін деп аталады. Екі кө ршілес тірек нү ктесі арасындағ ы нұ сқ а элементін нұ сқ а сегменті деп айтады. Контур пішінін тірек нү ктелерінің орнын ауыстыру, олар қ асиеттерін ө згерту, бар болғ ан нү кте жою не жаң а нү кте қ осу арқ ылы ө згертеді. Контур ашық не тұ йық болу мү мкін. Сонғ ыда ақ ырғ ы нү кте қ оса бірінші нү кте болып табылады. Тұ йық жә не ашық нұ сқ алардың қ асиеттері ә р тү рлі.

Нұ сқ а қ арапайым графикалық объект болып табылады. Нұ сқ алардан жаң а объекттер немесе олар топтарын жасайды. Бірнеше нұ сқ амен топтастыру, қ иылыстыру (комбинирование), қ осу операцияларын орындайды. Нә тижесінде соғ ан сә йкес объекттер тобы, қ ұ рама контур не жаң а контур пайда болады. Топтастыру операциясынан кейін ә рбір нұ сқ а ө з қ асиеттері мен оғ ан жататын тү йіндерін соқ тайды. Қ иылыстырумен алынғ ан қ ұ рама нұ сқ а жаң а қ асиеттеріне ие болады, бірақ бұ рынғ ы тү йіндер соқ талады.