Гиперболические функции

Функции и = , определённые на , называются гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Функция – нечётная, строго возрастающая, функция – чётная, строго убывающая на и строго возрастающая на , в точке имеет минимум – . Графики этих функций представлены на рисунках 1-2. Пунктирные кривые на рис. 1 отвечают функциям и , а на рис. 2 - функциям и .

Гиперболические тангенс и котангенс определяются формулами:

= , , = , , .

Обе функции нечётные, монотонно возрастает, а монотонно убывает, их графики изображены на рисунках 3, 4 (пунктиром обозначены асимптоты функций):

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Название этих функций – синус, косинус, тангенс, котангенс – связано с тем, что эти функции имеют ряд свойств, аналогичных свойствам тригонометрических функций. Так, имеют место формулы (обратить внимание на знаки! ):

, ,

из них, в частности, при , следует:

Докажем, например, первую из этих формул:

. Так же проверяются и остальные.

Запишем ещё ряд формул для гиперболических функций:

, , , откуда , , откуда , , .

Функции и , , обратимы, их обратные функции обозначаются соответственно (ареасинус гиперболический) и (ареатангенс гиперболический). Действительно, решая уравнение

или относительно , найдём , откуда, выбирая знак «+» перед радикалом, ведь , получим .

Аналогично из уравнения или найдём , откуда , .

Графики функций и (а, значит, и найденных функций и ) изображены на рисунках 5 и 6 (пунктирные линии на рис. 6 отвечают асимптотам функции ).

Рассмотрим функции и . Решая уравнение

или относительно , найдём при

Рис. 5

Рис. 6

два значения , откуда - получим двузначную функцию, которая распадается на две однозначных ветви: - обратная для на и - обратная для на . На рис. 7 изображён график функций (сплошная линия) и

(пунктирная кривая):

Рис. 7

Из уравнения или найдём: , откуда , .

График функции приведён на рис. 8 (пунктиром обозначены асимптоты данной функции).

Эпитет «гиперболический» в названии рассмотренных функций связан с тем, что формулы параметрически задают гиперболу: - каноническое уравнение гиперболы.

Рис. 8