Некоторые виды интегрируемых дифференциальных уравнений

1. Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид у′ = f(х). Смысл формулы Ньютона – Лейбница состоит в том, что решением этого уравнения является интеграл . Именно по примеру этого простейшего случая принято называть решения дифференциальныхуравнений интегралами.

Пример. Решить уравнение y′ = sin x. Очевидно, что y = – соs x + С.

2. Уравнения с разделяющимися переменными называются уравнения вида . Учитывая, что можно записать это же уравнение в виде f(x) dx = g(y) dy.

Предположим, что решением такого уравнения является заданная неявно функция F(x, y) = C. Продифференцируем её и получим выражение . Имея ввиду равенство , можно предположить, что зависит только от х, а зависит только от у. Можно догадаться, что функция F(x, y) имеет вид F₁(x) + F₂(y). Если это так, мы имеем два равенства = f(x) и = – g(y), которые позволяют найти функции F₁(x) и F₂(y). Очевидно, что и . В итоге формула решения уравнения с разделяющимися переменными имеет вид .

Формально процедуру решения уравнения с разделяющимися переменными можно представить как интегрирование левой и правой частей равенства f(x) dx = g(y) dy. При этом каждая часть равенства интегрируется по своей переменной: .

Пример. Решить уравнение x y dx + (x + 1) dy = 0. Проведём разделение переменных, т. е. преобразуем уравнение к виду . Отсюда следует, что решение имеет вид . Интегрируя, получаем следующее решение: х – ln (x + 1) = – ln y + C (при этом используется тот факт, что ). Преобразуя, получаем х – C = ln (х + 1) – ln у или . Окончательно, , где .

В итоге можно задать решение в явном виде . Кроме того, мы делили обе части уравнения на х + 1. В результате потеряно решение х = – 1.

3. Однородные уравнения имеют вид и сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных y = t x. Дифференцируя получаем равенство dy = t dx + x dt. Отсюда следует, что или .