3.8. Моделирование плоских кривых второго порядка

Если в трехмерном пространстве дана плоская кривая второго порядка f, то, проведя через ее точки и центр проецирования прямые, получим коническую (центр проецирования на конечном расстоянии) или цилиндрическую (центр проецирования бесконечно удален) поверхности, которые пересекутся с картинами по плоским кривым линиям второго порядка. В результате на картинах p₁ и p₂ возникают два изображения плоской кривой второго порядка (рис. 130).

Рис. 130. Моделирование плоской кривой линии

методом двух изображений

Таким образом, моделью плоской кривой линии являются два ее изображения.

Чтобы задать модель плоской кривой второго порядка достаточно промоделировать три ее точки и две касательные. В качестве касательных могут использоваться линии связи. В этом случае можно использовать алгоритм, который описан в разделе «Линии».

Работа с моделью плоской кривой линии второго порядка предполагает решение следующих задач:

1) моделирование любой плоской кривой второго порядка с помощью метода двух изображений;

2) определение по модели ее характера и положения относительно проекционного аппарата;

3) построение точек кривой линии на ее модели по одной заданной проекции.

Задача 1. Процесс моделирования любой плоской кривой второго порядка с помощью метода двух изображений рассмотрено выше (рис. 130).

Задача 2. Определяя, какая кривая линия второго порядка промоделирована методом двух изображений, следует учитывать, по какой линии пересекает проецирующая поверхность картину. Поскольку проецирующей является коническая или цилиндрическая поверхности, то их сечение плоскостью картины даст также плоскую кривую второго порядка. На рис. 131 приведен пример модели плоской кривой второго порядка на совмещенной модели: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа.

Рис. 131. Модель плоской кривой второго порядка

(совмещенная модель: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа)

При проецирующем положении плоскости моделируемой кривой проходящая через соответствующий центр поверхность вырождается в плоскость, а проекция линии окажется прямой. На рис. 132 это модель кривой n и модель кривой m на эпюре Монжа. Таким образом, характерным признаком модели кривой второго порядка, которая лежит в проецирующей плоскости, является вырождение одной проекции в прямую линию. Это утверждение справедливо для всех частных случаев метода двух изображений.

Рис. 132. Модель плоских кривых линий второго порядка, которая принадлежит проецирующей плоскости

(совмещенная модель: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа)

Задача 3. Алгоритм построения проекции точки, которая принадлежит плоской кривой линии второго порядка, принципиально не отличается от алгоритма построения точки, принадлежащей прямой. Решение этой задачи осуществляется одинаково в перспективе, аксонометрии и на эпюре Монжа.

Рассмотрим пример построения точкиА, принадлежащей кривой f, когда дана одна из ее проекций. Если плоскость, содержащая кривую, занимает общее положение (рис. 133, а, проекция А₁), возникают два варианта искомой проекции (рис. 133, б). Какую из них следует выбрать, решает конкретная дополнительная информация.

Рис. 133. Построение проекции точкиА, которая принадлежит плоской кривой второго порядка, принадлежащей плоскости общего положения

(совмещенная модель: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа)

Эта проблема не возникает, если плоскость занимает проецирующее положение (рис. 134).

Рис. 134. Построение проекции точкиА, которая принадлежит плоской кривой второго порядка, принадлежащей проецирующей плоскости (совмещенная модель: перспектива, аксонометрия, эпюр Монжа)

12 Следующая ⇒