Задача 5. Имеется модель плоскости. Построить ее линию схода.

Рис. 122. Примеры моделей плоскостей, различным образом расположенных относительно проекционного аппарата (аксонометрия)

Рис. 123. Примеры моделей плоскостей, различным образом расположенных относительно проекционного аппарата (эпюр Монжа)

Задача 3. Построение проекции прямой, которая принадлежит плоскости, когда дана одна ее проекция (рис. 124), основано на знаниях следующих разделов:

1. Модель прямой.

2. Модели точки.

3. Признак принадлежности прямой к плоскости.

4. Третий инвариант проецирования.

5. Алгоритм решения задачи на построение проекции точки, принадлежащей прямой, в случае, когда дана одна ее проекция.

Моделью прямой являются два ее изображения. Поэтому если дана одна проекция прямой, есть и другая. Чтобы ее найти, воспользуемся признаком принадлежности прямой к плоскости и третьим инвариантом проецирования. Для этого возьмем на заданной проекции прямой две точки, которые принадлежат не только прямой, но и плоскости. В примере на рис. 124 это точки М и N. В этих точках l₁ пересекает соответственно прямыеm и n, представляющие плоскость. Теперь необходимо построить недостающие проекции этих точек.

Рис. 124. Построение проекции прямой, которая лежит в плоскости, по одной ее проекции (репер – две пересекающиеся прямые)

Они определят положение искомой проекции прямой. Приведенное рассуждение справедливо и в случае, когда исходной является не только первая проекция прямой, но и вторая. Алгоритм решения этой задачи для обоих вариантов расположения исходной проекции прямой приведен ниже.

Некоторые затруднения может вызвать решение этой задачи в случае, когда плоскость промоделирована прямой и точкой. Тогда необходимо перейти к другому варианту репера, в котором должны быть хотя бы две прямые.

Если плоскость занимает проецирующее положение и исходная проекция прямой задана на невырожденной проекции плоскости, то решение задачи упрощается (рис. 125). Искомая проекция прямой принадлежит вырожденной проекции плоскости. В случае, когда исходная проекция принадлежит вырожденной проекции плоскости, задача решения не имеет.

Рис. 125. Построение проекции прямой, которая лежит в проецирующей плоскости, по одной ее проекции

Задача 4. Построение проекции точки, которая принадлежит плоскости, по одной заданной проекции основано на знаниях их следующих разделов:

1. Определение модели точки.

2. Признак принадлежности точки к плоскости.

3. Третий инвариант проецирования.

4. Алгоритм решения задачи 3 настоящего раздела.

На рис. 126 представлен пример решения этой задачи одновременно во всех вариантах метода двух изображений. Дана первая проекция точкиК (рис. 126, а), может быть дана и вторая проекция. Любая точка плоскости может быть определена в результате пересечения двух линий. Исходя из определения модели точки, через заданную проекцию точкиК проведем линию связи. Другой линией будет произвольная прямая l, которая лежит в плоскости и содержит точку К. Построим другую проекцию этой прямой. Она, пересекаясь с проведенной линией связи, определит положение искомой проекции точки (рис. 126, б). Эта последовательность действий отражена в приведенном ниже алгоритме.

Рис. 126. Построение проекции точки, которая лежит в плоскости, по одной ее проекции

Если плоскость занимает проецирующее положение и исходная проекция точкиК задана на невырожденной проекции плоскости, то решение задачи упрощается (рис. 127). Искомая проекция точкиК принадлежит вырожденной проекции плоскости. В случае когда исходная проекция точки принадлежит вырожденной проекции плоскости, задача решения не имеет.

Рис. 127. Построение проекции точки, которая лежит в проецирующей плоскости, по одной ее проекции

Задача 5. Имеется модель плоскости. Построить ее линию схода.

Линия схода плоскости строится обычно в перспективе. При ее построении необходимо учитывать знания их следующих разделов:

1. Определения модели точки и прямой.

2. Характерные признаки модели прямой и точки, которые бесконечно удалены.

3. Признак принадлежности точки к плоскости.

4. Третий инвариант проецирования.

5. Алгоритм решения задачи по определению точки схода прямой на ее модели.

В примере на рис. 128 построена линия схода на модели плоскостиα. общего положения. Она выделена репером из двух пересекающихся прямых mиn(рис. 128, а). Находим точки схода каждой из этих прямых. Получаем точкиК иR, которые принадлежат соответственно прямым mи n. Через них пройдет линия схода плоскости (рис. 128, б). При этом ее первая проекция всегда будет принадлежать линии горизонта.

Это обстоятельство позволяет сделать вывод о том, что бесконечно удаленная плоскость трехмерного пространства занимает проецирующее положение. Кроме того, если вспомнить структуру проекционного аппарата, то удаленность в бесконечность центра проецирования S₁ свидетельствует о том же.

Рис. 128. Построение линии схода плоскости общего положения

Символическая запись алгоритма приводится ниже.

Описанный выше алгоритм построения линии схода плоскости можно применить и для построения линии схода проецирующей плоскости. В результате получим линию схода, которая занимает проецирующее положение (рис. 129). Это подтверждает и то, что две проецирующие плоскости пересекаются по проецирующей прямой. Одна из этих плоскостей заданная, другая – бесконечно удалена плоскость трехмерного пространства.

Рис. 129. Построение линии схода проецирующей плоскости

Контрольные вопросы

1. Перечислить варианты реперов плоскости.

2. Что такое модель плоскости?

3. Перечислить задачи, которые решаются при работе с моделью плоскости.

4. Что такое линия схода плоскости?

5. Каков характерный признак модели проецирующей плоскости в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?

6. Какие плоскости называются плоскостями уровня?

7. Каковы характерные признаки моделей плоскостей уровня в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?

8. Какая плоскость считается профильной?

9. Каков характерный признак модели профильной плоскости в перспективе, аксонометрии, на эпюре Монжа?

10. Перечислить операции алгоритма по построению проекции прямой, принадлежащей плоскости, когда дана одна ее проекция.

11. В чем состоят особенности построения проекции прямой, принадлежащей плоскости по одной заданной проекции, когда плоскость занимает проецирующее положение?

12. Перечислить операции алгоритма по построению проекции точки, принадлежащей плоскости, когда дана одна ее проекция.

13. В чем состоят особенности построения проекции точки, принадлежащей плоскости, по одной заданной проекции, когда плоскость занимает проецирующее положение?

14. Перечислить операции алгоритма по построению линии схода, плоскости.

15. В чем состоят особенности построения линии схода плоскость в случае, когда плоскость занимает проецирующее положение?