Контрольные вопросы. 1.3. Поверхности

Рис. 12. Построение эллипса с заданными фокусами

Построение эллипса по малой и большой осям представлено на рис. 13. Проводят две концентрические окружности. Диаметр одной равен малой оси эллипса, диаметр другой – большой оси. Делят окружности на равные части. В рассмотренном примере – на двенадцать. Через точки деления на малой окружности проводят горизонтальные прямые, через аналогичные точки на большой окружности – вертикальные. Точки пересечения этих прямых принадлежат эллипсу, которые соединяют кривой линейкой (лекалом).

Рис. 13. Эллипс

Парабола. Каждая точка параболы расположена на одинаковом расстоянии от фиксированной прямой f(директрисы) и от фиксированной точки F(фокуса). Ось симметрии параболы проходит через ее фокус и перпендикулярна ее директрисе. Вершина параболы (точка А) делит отрезок FЕ на две равные части. Построение параболы, основанное на этом свойстве, показано на рис. 14. От вершины параболы на ее оси откладывают несколько отрезков, через которые проводят прямые, параллельные директрисе. На каждой из этих прямых располагаются по две точки параболы. Их расстояния от директрисы до фокуса равны.

Если заданы вершина параболы, некоторая ее точка М и направление оси, то построение остальных точек продемонстрировано на рис. 14. Из точки М проводят прямую, параллельную оси, из точки А – прямую, перпендикулярную оси. Эти прямые пересекаются в некоторой точкеВ. Отрезки АВ и ВМ делят на равное число частей, которые на каждом отрезке равны между собой. Дальнейшее построение видно из рис. 15.

Рис. 14. Построение параболы, основанное на свойствах ее точек

Рис. 15. Построение параболы по ее вершине

и произвольной точке

Гипербола. Гиперболой называется плоская кривая линия, у которой разность расстояний от каждой точки до двух фиксированных точек F₁, F₂ (фокусов) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы(рис. 15).

Гипербола симметрична относительно двух взаимно перпендикулярных осей. Ось, которая содержит фокусы, называется действительной, другая ось – мнимой. Точка пересечения осей называется центром гиперболы. Прямые, проходящие через центр гиперболы и касающиеся ее в бесконечно удаленных точках, называются асимптотами.

На рис. 16 показано построение точек гиперболы, основанное на приведенном выше определении. В этом случае в качестве исходных элементов даны действительная ось, фокусное расстояние и вершины М₁, М₂.

На действительной оси наносят точки, расстояние между которыми увеличивается по мере удаления от фокуса. Из фокусов проводят дуги радиусом, равным расстоянию от точки 1 до вершины М₁ или М₂. Точки пересечения этих дуг принадлежат гиперболе.

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов, образованных осями, то для ее построения достаточно иметь эти асимптоты и одну произвольную точку гиперболы. На рис. 17 через произвольную точку М проведены две взаимно перпендикулярные прямые, которые параллельны асимптотам aи b. На вертикальную прямую нанесены произвольные точки: 1, 2, 3, 4, 5... Дальнейшее построение ясно из рис. 17.

Рис. 16. Построение гиперболы, основанное

на свойствах ее точек

Рис. 17. Построение одной ветви гиперболы по произвольной точке

и двум взаимно перпендикулярным асимптотам

Рассмотренные линии эллипс, гипербола, парабола и еще окружность образуют группу линий, которые называются кониками. Такое название они получили потому, что каждую из них можно получить в результате сечения прямого кругового конус плоскостью.

Если коника задана двумя касательными и тремя точками, что на практике бывает достаточно часто, точки этой кривой строят по алгоритму, представленному на рис. 18. Исходными являются точки А, В и С, касательные прямые m и n, пересекающиеся в точке D, и прямые а и b, которые соединяют точки А и В с точкой С. Последовательность графических построений отмечена цифрами. Первую прямую можно провести через точку А или точку В под любым углом. Последующие операции видны на рис. 18.

Рис. 18. Построение кривой второго порядка

по трем точкам и двум касательным

Контрольные вопросы

1. Каким способом образуются прямые и кривые линии?

2. Что считается порядком кривой?

3. Какие кривые линии называются плоскими?

4. Какие кривые линии считаются пространственными?

5. Дайте определение лекальных кривых.

6. Дайте характеристику эллипсу.

7. Какая линия называется параболой?

8. Что такое гипербола?

9. Воспроизведите алгоритм построения плоских кривых второго порядка.

1. 3. Поверхности

Особую группу геометрических множеств составляют поверхности. Самым распространенным способом образования поверхностей является кинематический. Сущность его сводится к следующему. Выделяется некоторая линия, которая, перемещаясь по заранее заданному закону, образует поверхность.

Наиболее распространенной является классификация, которая представлена в виде схемы на рис. 19. Основанием для деления поверхностей на линейчатые и нелинейчатые является возможность или невозможность выделения на ней прямой линии. Поверхности, на которых можно выделить прямую линию, называются линейчатыми. Если на поверхности невозможно выделить прямую линию, поверхность называется нелинейчатой.

Способы образования поверхностей являются основанием для деления их на поверхности вращения и перемещения по направляющим. На схеме видно, что линейчатые и нелинейчатые поверхности могут быть образованыкак вращением, так и другими способами.

Одной из важных характеристик поверхностей является их порядок. Порядкомповерхности считается максимальное количество ее точек, общих с прямой, что соответствует порядку алгебраического уравнения, описывающего эту поверхность. Из всех рассмотренных выше поверхностей второй порядок имели цилиндрическая, коническая, призматическая, пирамидальная, а также сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид. Остальные поверхности имели более высокий порядок.

Рассмотрим образование наиболее распространенных геометрических поверхностей. Зафиксируем в трехмерном пространстве точку Т и некоторую кривую линию f(рис. 20, а). Проведем через точку Т прямуюl, которая пересекает линию f. Прямая l, перемещаясь в пространстве таким образом, что она скользит по линииf и проходит через точку Т, образует коническую поверхность. Прямаяl называется образующей, точка Т – вершиной, кривая f – направляющей.