Правильные многоугольники.

Треугольники. Замечательные точки:

1. Ортоцентр- пересечение высот (В). 2. Центр тяжести- пересечение медиан (М). 3. Центр вписанной окружности - пересечение биссектрис (Б). 4. Центр описанной окружности - пере- сечение серединных перпендикуляров.

Средняя линия треугольника проходит через середины двух его сторон параллельно третьей и равна её половине: Катет, противолежащий углу

равен половине гипотенузы. У равнобедренных треугольников: - Углы при основании равны. - Высота, опущенная на основание, является биссектрисой и медианой.

Треугольники равны по - 2-м сторонам и углу между ними; - 2-м углам и прилежащей стороне; - 3-м сторонам; - 2-м углам и противолежащей одному из них стороне; - 2-м сторонам и углу, лежащему против большей из них

β c

Свойства медиан , биссектри с:

- При пересечении медианы делятся в пропорции 2: 1.

- Медиана делит площадь треугольника пополам.

- Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих

треугольника.

- Биссектриса . делит противоположные стороны на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам:

, .

Средняя линия треугольника:

;

; ;

- радиус вписанной окружности;

- радиус описанной окружности.

Для прямоугольных треугольников:

; ;

Для правильных треугольников:

; ; .

Треугольники подобны если - 3 стороны одного пропорциональны 3-м сторонам другого; - 2 угла одного равны 2-м углам другого; - 2 стороны одного пропорциональны 2-м сторонам другого и углы между ними равны. Свойства подобных треугольников: - Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам их сходственных сторон:

, - Периметры подобных треугольников пропорциональны их сходственным сторонам:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника:

;

-формула Герона

- Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных, каждый из которых подобен данному.

Прямоугольные треугольники:

β β

- теорема Пифагора

;

Дополнительная информация: - Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. - Если медиана, высота и биссектриса, проведенные к разным сторонам, пересекаются в одной точке, то треугольник равносторонний.

Четырехугольники. 1. Длялюбогочетырехугольника

, где

- острый угол между диагоналями. 2. В любой четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны. 3. Около любого четырехугольника можно описать окружность, еслисуммыпротивоположных углов в нем равны

. 4. Диагонали четырехугольника перпендикулярны, если сумма квадратов противоположных сторон равна сумме квадратов двух других сторон.