Основні засоби розв'язку тригонометричних рівнянь

Основні засоби розв'язку тригонометричних рівнянь

Повторення: Для розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь використовуються формули їх загальних рішень та окремі випадки, подані у наступній таблиці:

Уравнение	Общее решение	Частные случаи	Приложения
			\| a \| 1.
			\| a \| 1.
tgх = - a	x = - arctg a +pn		a Î R.
ctg х= - a	x = p - arcctg a +pn		a Î R.

Решение уравнений, сводящихся к простейшим

а) б)

в) cos x = p/4 –решений нет, т. к cos x не может быть равен углу

       Решение дробно-рациональных уравнений:

а)   - решаем, используя свойство пропорции

Данное уравнение имеет решения при условии: 3cos x + 4 0; cos x -4/3, следовательно не существует такого значения х, при котором знаменатель дроби обращается в 0.

Ответ:     nÎ Z

б)     Дробь равнa 0, если её числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0: Далее уравнение решается в виде системы

       2 sin² x – 3 sin x = 0

       1 + cos x 0

решаем первое уравнение системы: 2 sin²x – 3sinx = 0; sinx(2 sinx - 3) = 0,

откуда sinx = 0 или 2 sinx – 3 = 0

1) sinx = 0, х = pn, nÎ Z;

1) 2 sinx – 3 = 0; sinx = - решений нет

Второе условие: 1 + cos x 0 выполняется, если cos x -1, т. е. x p + 2pk, kÎ Z

Таким образом, данная система равносильна системе:                            у

х = pn, nÎ Z;

x p +2pk, kÎ Z

На единичной окружности отмечаем числа:

х = pn, nÎ Z и выбираем те, которые удовлетворяют        p           0         0 2p х

условию x p + 2pk, kÎ Z.

Это будут числа: х = 2pn, nÎ Z (четные значения 2pn, 4pn…)

Ответ: х = 2pn, nÎ Z



Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители:

а) ; ;

Найдем решения второго уравнения:

;

Ответ: ,

б) cos (p/4 + x) – tg 3x · cos (p/4 + x) = 0; выносим за скобки общий множитель

cos (p/4 + x), получаем cos (p/4 + x)(1 - tg 3x) = 0, решаем далее системой

cos (p/4 + x) = 0 (частный случай)

1 - tg 3x = 0

p/4 + x = p/2 + pn

tg 3x = 1 (частный случай)



x = p/2 - p/4 + pn

3x = p/4 + pn

x = p/4 + pn

x = p/12 + pn/3                      Ответ: { p/4 + pn; p/12 + pn/3, nÎ Z}

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Решение тригонометрических уравнений алгебраическим методом (сведения к одной тригонометрической функции):





- переход к одной тригонометрической функции





          не является решением

Ответ:              nÎ Z



Решение однородных уравнений:

О:       Уравнение вида

(1) - называется однородным тригонометрическим уравнением 1 степени (линейным)

(2) - называется однородным тригонометрическим уравнением II степени.

Рассмотрим уравнение (1) , где а, b ,

пусть cos x , т. е



Делим обе части уравнения на cos x, получаем уравнение вида:

а tgх + b=0, откуда ; - решение

Итак, однородное тригонометрическое уравнение 1й степени имеет общее решение nÎ Z

Пример:

sinx + cosx = 0; x = - arcctg ; x = - arcctg +pn; x = - - ответ

Рассмотрим уравнение (2)

                                                     пусть ;

Делим обе части уравнения на cos²x и получаем уравнение вида: ,

производим замену переменной: и получаем квадратное уравнение относительно у:

, решив которое, находим значение для tgx, а затем и значение самого х.

Пример:

, где

;

- замена;



Следовательно,





Ответ:

           nÎ Z

Решение систем тригонометрических уравнений.

       Основные методы решения систем тригонометрических уравнений почти такие же, как и методы решения алгебраических систем (сложение и подстановка).

а)   sin x – cos y = 1 (1)

         sin x + cos y = 0 (2) складывая и вычитая почленно уравнения (1) и (2), получаем

2 sin x = 1    sin x =1/2     x =(-1)^k p/6 + pk, kÎ Z

2 cos y = -1 cos y = -1/2 x = 2p/3 + 2pn, nÎ Z

Ответ: x =(-1)^k p/6 + pk, kÎ Z

        x = 2p/3 + 2pn, nÎ Z

б) x + y = p

cos x – cos y = 1 Из первого уравнения находим у = p - х, подставляем во второе уравнение и получаем cos x – cos (p - х) = 1; cos x + cos x =1; 2 cos x = 1; cos x = ½;

     x = p/3 + 2pn, nÎ Z

   Тогда у = p - ( p/3 + 2pn) = p/3 + (1 – 2n)p, nÎ Z

Ответ: x = p/3 + 2pn, у = p/3 + (1 – 2n)p, nÎ Z.