Профильный уровень. Вариант 1. 30.05.2018.

№ 1. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 8%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 500 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?

№ 2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат – крутящий момент в Н ∙ м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой v = 0, 036n, где n – число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 140 Н ∙ м? Ответ дайте в километрах в час.

№ 3. Найдите градусную меру дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.

№ 4. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 141 качественную сумку приходится 9 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

№ 5. Найдите корень уравнения . В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

№ 6. В треугольнике АВС АС = ВС, АН – высота, АВ = 10, . Найдите ВН.

№ 7. На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале ( – 9; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12.

№ 8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

№ 9. Найдите 3p(x – 4) – p(3x), если p(x) = 2x – 6.

№ 10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону , где t– время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, Н₀= 2м – начальная высота столба воды, – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g – ускорение свободного падения (считайте g= 10 м/с² ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

№ 11. Игорь и Паша могут покрасить забор за 24 часа. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 35 часов, а Володя и Игорь – за 40 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?

№ 12. Найдите точку минимума функции .

№ 13. а). Решите уравнение ;

б). Найдите его корни на промежутке .

№ 14. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1: 5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

№ 15. Решите неравенство .

№ 16. Расстояние от точки М, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку М проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенной внутри угла.

№ 17. Владимир поместил в банк 3600000 рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года, после начисления процентов, оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48, 5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?

№ 18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение (3х – 1)ln(4x – a) = (3x – 1)ln(3x + a) имеет ровно один корень на отрезке [0; 1]

№ 19. На доске написано 30 различных натуральных чисел, каждое из которых либо четное, либо его десятичная запись заканчивается на цифру 7. Сумма написанных чисел 810.

а). Может ли быть 24 четных числа?

б). Может ли быть на доске ровно два числа, оканчивающихся на 7?

в). Какое наименьшее количество чисел с последней цифрой 7 может быть не доске?

Ответы:

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№ 5	№ 6	№ 7	№ 8	№ 9	№ 10	№ 11	№ 12
			0, 06	– 0, 125				– 24

12 Следующая ⇒