«Биссектрисы и барицентрические координаты»

Сет Г18-1

«Биссектрисы и барицентрические координаты»

(из старого, 1 балл)

Вне квадрата проведены два луча пол указанными на рисунке углами. Найти угол х.

(3 балла)

В треугольнике АВС угол В = 120º.

АК, ВМ и СР – биссектрисы. Найти угол КМР.

(4 балла)

В треугольнике АВС угол В = 120º.

ВМ – биссектриса, СК – внешняя биссектриса (К лежит на прямой АВ). ВС ∩ МК = Р.

Найти угол АРМ.

(1 балл)

Доказать СЕБЕ, что при изотомическом сопряжении точка с барицентрическими координатами

[x: y: z] переходит в точку с барицентрическими координатами [1/x: 1/y: 1/z] ( = [yz: xz: xy] )

(1 балл)

Найти барицентрические координаты ин-центра I. (в терминах сторон a, b, c).

(2 балла)

Найти барицентрические координаты точек О (центр описанной окружности), Н (ортоцентр).

(Очень полезная теорема, 3 балла)

Доказать, что в качестве барицентрических координат точки Х внутри (не обязательно! )

треугольника АВС можно взять площади треугольников ХВС, ХСА и ХАВ.

(Красивая задачка со Всеамериканской олимпиады, 4 балла)

Доказать, что три прямые, проведенные через анти-инцентр (т. е. точку пересечения антибиссектрис) параллельно сторонам треугольника высекают на сторонах равные отрезки.