![]()
|
|||
Действия со случайными событиями
Билет№1 Теория вероятностей —наука, занимающаяся анализом математических моделей для принятия решений в условиях неопределенности. Предметом теории вероятностей является количественный и качественный анализ математических моделей вероятностных экспериментов, называемый статической обработкой экспериментальных данных.
Билет№2 Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий W (элементарное событие соответствует элементарному исходу). Случайными событиями, будем называть подмножества пространства элементарных событий W.
Билет№3 Статистическое определение. Вероятностью события Для определения вероятности события на основе формулы Виды случайных событий: События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Билет№4 Действия со случайными событиями Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B. Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB. Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих A, но не принадлежащих B. Обозначается A\B. (виды случайных соб-ий в билете №3).
Билет№5 Вероятностью P(A) события в данном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий: Это определение вероятности часто называют классическим.
Билет№6 Пусть задано пространство элементарных событий Е, а вероятности Р определены на событиях из Е. Тогда:
Билет№7 Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов множества Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается
Билет№8 События А и В называются независимыми, если Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B).
Пусть P(B/A)=P(B), тогда
Билет№9 Условной вероятностью события A по отношению к событию B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Обозначается: P(A|B) (кратко читается так: “P от A при условии B”). Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности. В частности, P(A|B) + P( A |B) = 1. Отметим также, что если B ⊂ A, то P(A|B) = 1; если AB = V, то P(A|B) = 0.
Билет№10 Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р (АВ) = р (А) · р (В/А). Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно, р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В).
Белет№11 Если события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:
или Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠ 0, тогда имеет место формула Байеса:
Билет№12 Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А, с вероятностью q=1-р событие Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов других испытаний. Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называется схемой последовательных испытаний Бернулли.
Билет№13
Билет№14 Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине
Билет№15 Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т. е. 0< p< 1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях. Имеются специальные таблицы значений функций φ (х). Нужно учитывать, что функция φ (х)–четная, т. е. φ (х)=φ (-х).
Билет№16 Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянна и отлична от 0 и 1, т. е. 0< p< 1, то вероятность того, что событие А появится от k1 до k2 раз в n независимых испытаниях определяется выражением:
Функция Лапласа—нечетная, т. е.
Билет№18 Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов Так как
Билет№19 Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причём заранее не известно, какое именно значение она примет. Случайные величины обозначают большими латинскими буквами (X, Y, Z1, …), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (x, y, z, …). Событие, состоящее в том, что случайная величина X примет значение x, будем отражать записью X = x. С левой стороны этого равенства стоит имя случайной величины, а справа – прини-маемое ею значение. Вероятность этого события будем обозначать P{X = x}. Аналогично, P{X < x} – вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем x.
Билет№20 Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает конечное либо счетное число значений, т. е. Ω х—конечно или счетно. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется совокупность пар чисел вида (хi, рi), где xi—возможные значения случайной величины, а pi—вероятности, с которыми случайная величина принимает эти значения, т. е.
Билет№22 Свойство1. Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т. е. для Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤. Свойство 2.
Свойство 3. Функция F(x) непрерывна слева. (т. е. Свойство 4. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.
Билет№23 Распределение случайной величины
где Теорема : Для того чтобы случайная величина
Билет№24 Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). Основные свойства плотности распределения: 1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) > 0. Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной. 2. Условие нормировки:
Билет№25 Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā ) = 1 - р = q.
Билет№26 Распределение Пуассона - это дискретное распределение, являющееся одним из важных предельных случаев биномиального распределения. При росте n и зафиксированном значении произведения np=λ > 0 биномиальное распределение B(n, p) сходится к распределению Пуассона. Таким образом, случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром λ , принимает неотрицательные целые значения с вероятностью Классическим примером случайной величины, распределенной по Пуассону, является количество машин, проезжающих через какой-либо участок дороги за заданный период времен.
Билет№21 Функцией распределения случайной величины Хназывается функция F(x) действительной переменной х, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет в результате эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа х.
Если рассматривать Х как случайную точку на оси ох, то F(x) с геометрической точки зрения—это вероятность того, что случайная точка Х в результате реализации эксперимента попадет левее точки х.
Билет№27 Дискретное равн-ое распред-ие: Говорят, что случайная величина X распределена по равномерному закону, если она может принимать только целые неотрицательные значения от 1 до n, а вероятности всех возможных значений одинаковы. Таким образом, Непрерывное равн-ое распред-ие: Говорят, что случайная величина X распределена равномерно в интервале [a, b], если её плотность распределения вероятностей определяется формулой: Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий вид:
Билет№28 Говорят, что случайная величина X распределена по нормальному закону, если её плотность распределения вероятностей определяется следующей формулой: Соответствующая функция распределения вероятностей имеет следующий вид:
Билет№29 Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргу-мента Х: Y=φ (X).
Билет 30Рассмотрим случайную величину *, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1, 2, ... ) равно вероятности того, что величина примет значение xi.
Билет 31 Непрерывные случайные величины. Кроме дискретных случайных величин, возможные значения которых образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, не заполняющих сплошь никакого интервала, часто встречаются случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый интервал. Примером такой случайной величины может служить отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе. Такого рода, случайные величины не могут быть заданы с помощью закона распределения вероятностей р(х). Однако их можно задать с помощью функции распределения вероятностей F(х). Эта функция определяется точно так же, как и в случае дискретной случайной величины: Билет 32 Математи́ ческое ожида́ ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. [1] Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение μ. Определение: Пусть задано вероятностное пространство
Билет 33 Дисперсией Билет 35Моме́ нт случа́ йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины. Определения: Если дана случайная величина
Билет 36 Ковариа́ ция (корреляционный момент) в теории вероятностей и математической статистике мера линейной зависимости двух случайных величин. Определение: Пусть X, Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:
Билет 37 если
Билет 38 Определение: Случайные величины
Билет 39 Нера́ венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием. Пусть случайная величина Билет40 Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету. Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными. Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным. Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли - простейшим. В основе доказательства теорем, объединенных термином " закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания: Билет 41Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения. Классическая формулировка Ц. П. Т. Пусть
|
|||
|