Алгебра

Разбираем новую тему

Посмотрите видеоурок

https: //www. youtube. com/watch? v=ZoWXq8lxYfY

Прочитайте материал урока

Е сли n — натуральное число, причём , m — целое число и частное является целым числом, то при a> 0 справедливо равенство .

Таким образом, формула справедлива для любого целого числа m и любого натурального числа и положительного основания степени .

Например,          

   .

Напомним, что рациональное число – это число вида , где – целое, – натуральное число. Тогда по формуле получаем .

Таким образом, степень определена для любого рационального показателя r и любого положительного основания а.

Пользуясь формулой , степень с рациональным показателем можно представить в виде корня и наоборот.

Запомните! Степенью числа с рациональным показателем , где m – целое число, а n – натуральное, причём , называется число .

Замечание: из определения степени с рациональнымпоказателем сразу следует, что для любого и любого рациональногоr число – положительно.

Любое рациональное число допускает различные записи его в виде дроби. По основному свойству дроби частное можно представить, как частное , где
n и k – натуральные числа, m – целое число. Тогда при любом a> 0 справедливо равенство .

Заметим, что при отрицательном основании степени рациональная степень числа а не определяется. Отрицательные числа нельзя возводить в рациональную степень, не являющуюся целым числом.

Задание. Найдите значения выражения .

Решение.

П ри любом действительном и любом является положительным действительным числом при , .

При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные вам свойства степени с рациональным показателем. Сформулируем эти свойства.

Пусть , , , – любые действительные числа. Тогда справедливы следующие равенства.

Свойства степеней

1. .                 2. .

3. .                      4. .

5. .

К этим свойствам добавляется ещё одно:

6. Если , то при .

ТЕОРЕМА.

Пусть и . Тогда .

Из этой теоремы вытекают три следствия.