УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

З а д а н и е 1. Решите уравнение:

1) 3х = 0; 2) –4х = –8; 3) 6х = – 12;

х = 0. х = 2. х =

4) х + 2 = 4 – х; 5) 2х – 7 = 9; (Д/З) 6) (2х + 3) – (4х – 1) = 4;

х + х = 4 – 2; 2х + 3 – 4х + 1 = 4;

2х = 2; 2х – 4х = 4 – 3 – 1;

х = 1. – 2х = 0;

х = 0.

3х – 4 = 5 – 2х + 1; 3х + 2х = 5 + 1 + 4; 5х = 10; х = 2.

7) 3х – 4 = 5 – (2х – 1); 8) –2(х + 3) = 2х – 8; (Д/З) 9)

; 10) 8: х = 2: 5 (Д/З)

11) ; 12) ; (Д/З)

х² + 7 = 2⁴;

х² + 7 = 16;

х² = 16 – 7;

х² = 9;

х = ± 3.

13) ; 14) ; (Д/З)

х – 7 = 4²;

х – 7 = 16;

х = 23.

15) ; 16) ; (Д/З)

х = х² – 2;

х² – х – 2 = 0;

по теореме Виета

Проверка.

При х = – 1 ; ― не верно, то х = – 1 ― посторонний корень.

При х = 2 ; ― верно, то х = 2 ― корень уравнения.

Ответ: 2.

17) ; 18) ; (Д/З)

11 – = 2³;

11 – = 8;

– = 8 – 11;

– = – 3; | × (–1)

= 3;

х + 1 = 3²;

х + 1 = 9;

х = 8.

Проверка.

; ; ; ; 2 = 2 ― верно.

Ответ: 8.

19) ; 20) ; (Д/З)

при замене , то и получим:

у² + 2у – 8 = 0;

по теореме Виета

решим два уравнения:

1. ; 2. ;

нет корней, т. к. – 4 < 0; х = 2⁴;

х = 16.

Ответ: 16.

21) ; 22) (Д/З)

при замене = у получим: 23) ; (Д/З)

; 24) ; (Д/З)

; при замене = у, то и получим:

; ;

; …Дорешать самостоятельно

;

у² – 5у + 6 = 0; 5(у +2) ≠ 0;

у ≠ – 2;

по теореме Виета у + 2 ≠ 0;

решим два уравнения:

1. = 2; 2. = 3;

х = 8; х = 27.

Ответ: 8; 27.

25) ; 26) ; (Д/З)

5 ;

25х(х – 2) = (3х)²;

25х² – 50х = 9х²;

25х² – 50х – 9х²= 0;

16х² – 50х = 0;

2х(8х – 25) = 0;

2х = 0 или 8х – 25 = 0;

х = 0 8х = 25;

х = .

Проверка.

При х = 0 ; ― не верно, то х = 0 ― посторонний корень.

При х = ; ; ;

; ― верно, то х = ― корень уравнения.

Ответ: .

27) ; 28) ; (Д/З)

;

х + 2 = (4 – )²;

х + 2 = 16 – 8 + 3х – 2;

8 = 16 + 3х – 2 – х – 2;

8 = 2х + 12; |: 2

4 = х + 6;

16(3х – 2) = (х + 6)²;

48х – 32 = х² + 12х + 36;

х² + 12х + 36 – 48х + 32 = 0;

х² – 36х + 68 = 0;

по теореме Виета

Проверка.

При х = 2 ; 4 = 4 ― верно, то х = 2 ― корень уравнения.

При х = 34 ; 16 = 4 ― не верно, то х = 34 ― посторонний корень.

Ответ: 2.

29) 30)

31) 2^х^{– 1}= 32; 32) 5^{4 – х}= 125; (Д/З) 33) 0, 4^х= 0, 064; 34) 0, 6^х= 0, 36; (Д/З)

2^х^{– 1}= 2⁵; 0, 4^х= 0, 4³;

х – 1 = 5; х = 3.

х = 6.

35) 3^х = ; 36) ; (Д/З) 37) = 2^3х; 38) 4^х^{– 2}= ; (Д/З)

3^х = 3^–2; 2^х^{– 2} = 2^3х;

х = –2. х – 2 = 3х;

– 2х = 2;

х = – 1.

2^3х · 2^2х = 2¹⁰; 2^5х= 2¹⁰; 5х = 10; х = 2.

39) 2^3х · 4^х = 2¹⁰; 40) 3^4х · 9^х = 3¹⁸; (Д/З) 41) 0, 125^х = 2 · 4^х; 42) (5^х^{– 3})^х^{– 1} = 25^х · 125^х^{+ 1};

2^–3х = 2^{2х +1};

…

8² · 8^х– 8^х = 126; 47) 3^х⁺³+ 5 · 3^{х –}¹ = 86; 8^х · (8² – 1) = 126; 63 · 8^х = 126 |: 63; 2^3х = 2¹; 8^х = 2; 3х = 1; х =

43)

; 44)

; (Д/З) 45) 8^х^{+ 2}– 8^х = 126; 46) 2^2х+3+ 4^х = 72; (Д/З)

;

х = 1.

4^х +

= 5; при замене 4^х = у получим: у +

= 5; …Дорешать самостоятельно

48) 9^х– 27 = 2 · 3^х⁺¹; 49) 2^2х+1 – 5 · 2^х+ 2 = 0; (Д/З)50)4^х + 4^{1 – х}= 5;

3^2х– 2 · 3¹ · 3^х – 27 = 0;

3^2х– 6 · 3^х – 27 = 0;

при замене 3^х = у получим:

у²– 6у – 27 = 0;

по теореме Виета

решим два уравнения:

1. 3^х = –3; 2. 3^х = 9;

нет корней, т. к. –3 < 0; 3^х = 3²;

х = 2.

Ответ: 2.

51) 6 · 4^х – 13 · 6^х + 6 · 9^х = 0; 52) 4 · 3^2х + 3^х · 4^х – 3 · 4^2х = 0; (Д/З)

6 · 2^2х – 13 · 2^х · 3^х + 6 · 3^2х = 0;

разделим уравнение на 3^2х ≠ 0 и получим:

= 0;

+ 6 = 0;

при замене = у получим:

6у²– 13у + 6 = 0;

D = (–13)² – 4 · 6 · 6 = 169 – 144 = 25 = 5²;

у₁ = ; у₂ = ;

решим два уравнения:

1. ; 2. ;

= ; = ;

х = 1; х = –1.

Ответ: –1 и 1.

х² – 3 = 13; х²=16; х = ±4.

х = 3²; х = 9.

53) log₃х = 2; 54)

; 55) log₁₂(х² – 3) =log₁₂13;

х = ;

х = 3.

56) log₆x = – 2; (Д/З)57)log_{0, 4}х = 3; (Д/З) 58) log₂(х² + 5) =log₂54; (Д/З)

log₄x = log₄

; log₄x = log₄48; х = 48.

4x+ 1 = 7 – 2x; 4х + 2х = 7 – 1; 6х = 6; х = 1. Проверка. log₂ (4 · 1+ 1) = log₂ (7 – 2 · 1); log₂ 5 = log₂ 5 ― верно. Ответ: 1.

59) log_{0, 5}(3x – 2) = – 2; 60) log₄x = log₄ 32 + log₄ 3 – log₄ 2; 61) log₂ (4x+ 1) = log₂ (7 –2x);

log (3x – 2) = – 2;

3х – 2 = ;

3х – 2 = 4;

3х = 6;

х = 2.

62) log_{0, 2}(2x – 3) = – 1; 63) log₇x = log₇ 2, 5 + 4log₇ 2 − log₇10; 64)log₅ (x + 4) = log₅ (1 – 2x); (Д/З)

65) 2log₅ (x+ 2) = log₅ (2x+ 12); 66) 2log₃ (x – 1) = log₃ (4x + 1); (Д/З)

log₅ (x + 2)² = log₅ (2x + 12);

(x + 2)² = 2x + 12;

х² + 4х + 4 – 2х – 12 = 0;

х² + 2х – 8 = 0;

по теореме Виета

Проверка.

При х = –4 2log₅ (–4 + 2) = log₅ (2 · (–4) + 12); 2log₅ (–2) = log₅4 ― не верно, то

х = –4 ― посторонний корень.

При х = 2 2log₅ (2 + 2) = log₅ (2 · 2 + 12); 2log₅ 4 = log₅ 16; log₅ 16 = log₅ 16― верно, то

х = 2 ― корень уравнения.

Ответ: 2.

67) + log_{0, 5}x – 6 = 0; 68) log₆(x – 2) + log₆(x – 11) = 2;

при замене log_{0, 5}x = у получим: log₆(x – 2)(x – 11) = 2;

у²+ у – 6 = 0; (x – 2)(x – 11) = 6²;

х² – 11х – 2х + 22 – 36 = 0; х² – 13х – 14 = 0; по теореме Виета

Проверка. При х = –1 log₆(–1 – 2) + log₆(–1 – 11) = 2; log₆(–3) + log₆(–12) = 2 ― не верно, то х = –1 ― посторонний корень. При х = 14 log₆(14 – 2) + log₆(14 – 11) = 2; log₆12 + log₆3 = 2; log₆36 = 2; 2 = 2― верно, тох = 14 ― корень уравнения. Ответ: 14.

по теореме Виета

решим два уравнения: 1. log_{0, 5}x = –3; 2. log_{0, 5}x = 2; х = 0, 5^–3 =

; х = 0, 5²; х = 8; х = 0, 25. Ответ: 8 и 0, 25.

69) ; (Д/З)70) log₂ (2x – 1) = 2log₂ 3 – log₂ (x – 4); (Д/З)

71) (Д/З)

З а д а н и е 2. Решите неравенство:

1) –2х ≥ – 6; 2) 4х> 20; 3) –3х ≤ 12; (Д/З)

х ≤ 3; х> 5; 4) 6х< –18; (Д/З)

///////////////• х ο ///////////// х

– ∞ 3 5 +∞

х (– ∞; 3]. х (5; +∞ ).

5) х + 3 > 2х – 7; 6) х² + х≥ 0; 7) х² + х – 2 < 0;

х – 2х> –7 – 3; х² + х = 0; х² + х – 2 = 0;

– х> –10; х (х + 1) = 0; по теореме Виета

х< 10; х = 0 или х + 1 = 0;

///////////////ο хх = –1;

– ∞ 10 + – +

х (– ∞; 10). ////////////• •//////////// х + – +

– ∞ –1 0 +∞ ο //////////ο х

х (– ∞; –1]U [0; +∞ ). –2 1

х (– 2; 1)

8) 6 – 2х ≤ 4; (Д/З) 9) х² – 2х ≤ 0; (Д/З) 10) х² – 3х– 4 ≥ 0; (Д/З)

11) (Найти сумму целых решений) 12) (Д/З)

13) (Д/З)

2х – 8 = 0; х + 3 ≠ 0;

2х = 8; х ≠ – 3;

х = 4.

+ – +

ο //////////•х

–34

х (– 3; 4].

Сумма целых решений – 2 + (– 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7.

Ответ: 7.

Правила: 1. Если в показательном неравенстве основаниеа> 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется.

2. Если в показательном неравенстве основание 0< а< 1, то для показателей степени знак неравенства меняется.

14) ; 15) ; (Д/З)

;

т. к. основание 0 < < 1, то для показателей степени знак неравенства меняется:

х ≥ 1.

•///////////// х

1 +∞

х [1; +∞ ).

16) 3^{2х + 9}< 27; 17) 5^{3х– 4}> 25; (Д/З)

3^{2х + 9}< 3³;

т. к. основание 3 > 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

2х + 9 < 3;

2х< – 6;

х< – 3.

///////////////ο х

– ∞ – 3

х (– ∞; – 3).

18) 0, 2^{5 – х}≤ 0, 008; 19) 0, 7^х⁺¹< 0, 49; (Д/З)

0, 2^{5 –х}≤ 0, 2³;

т. к. основание 0 < 0, 2 < 1, тодля показателей степени знак неравенства меняется:

5 – х≥ 3;

– х≥ –2;

х≤ 2.

///////////////• хх (– ∞; 2].

– ∞ 2

20) 6^х⁺⁴> 1; 21) (Д/З)

6^х⁺⁴> 6⁰;

т. к. основание 6 > 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

х + 4 > 0;

х> –4.

o///////////// х

–4 +∞

х (–4; +∞ ).

22) ; 23) 4^х ≤ 32; (Д/З)

;

т. к. основание 0 < < 1, то для показателей степени знак неравенства меняется:

2х> 3;

х> 1, 5.

o///////////// х

1, 5 +∞

х (1, 5; +∞ ).

3^2х– 12 · 3^х + 27 ≥ 0; при замене 3^х = у получим: у²– 12у + 27 ≥ 0; у²– 12у + 27 = 0; по теореме Виета

24)

; 25) 9^х– 12 · 3^х + 27 ≥ 0;

;

|: 6;

решим два неравенства: 1. у ≤ 3; 2. у ≥ 9; 3^х ≤ 3; 3^х ≥ 9; 3^х ≤ 3¹; 3^х ≥ 3²; х ≤ 1; х ≥ 2; общее решение:

;

х ≤ –1.

///////////////• х

– ∞ –1

х (– ∞; –1].

26) 2^х^{+ 2}+ 2^х^{+ 1}≤ 24; (Д/З)27) 4^х – 6 ∙ 2^х + 8 < 0. (Д/З)

Правила: 3. Если в логарифмическом неравенстве основаниеа> 1, то для выражений под логарифмом знак неравенства сохраняется.

4. Если в логарифмическом неравенстве основание 0< а< 1, то для выражений под логарифмом знак неравенства меняется.

28) ; 29) lg (x+2) > 3;

, т. к. = 3; lg (x + 2) > lg 1000, т. к. 10³ = 1000;

т. к. основание 0 < < 1, то для выражений т. к. основание 10 > 1, то для выражений под

под логарифмом знак неравенства меняется: логарифмом знак неравенства сохраняется:

0 < х – 1 ≤ 3; х + 2 > 1000;

1 < х ≤ 4; х> 998;

ο //////////•хo///////////// х

1 4 998 +∞

х (1; 4]. х (998; +∞ ).

30) log_{0, 8} (x + 6) < log_{0, 8} 9; (Д/З) 31) log₃ (x + 3) < log₃ 4; (Д/З)

32) ; (Д/З)33) ; (Д/З)

34) log₃(4x – 5)< log₃7 + 2; 35) log_{0, 7}(x + 4)> log_{0, 7}(19 – 4x);

log₃(4x – 5)< log₃7 + log₃3²;

log₃(4x – 5)< log₃7 + log₃9;

log₃(4x – 5)< log₃63;

т. к. основание 3> 1, то для выражений под

логарифмом знак неравенства сохраняется: – 4 3

0 < 4х – 5 < 63; //////////////ο //////////ο х

5 < 4х< 68; \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

1, 25 < х< 17; х (– 4; 3).

ο //////////ο х

1, 2517

х (1, 25; 17).

36) log₂(3x + 2)< log₂5 + 4; (Д/З)37)log₇(4x – 6)> log₇(2x – 4); (Д/З)

38) ; 39) ; (Д/З)

x² + x – 6 > 0;

x² + x – 6 = 0;

по теореме Виета

+ – +

////////////////ο ο //////////// х

–32

общее решение:

– 4– 32

/////////////////ο ////////////ο ο //////////////// х

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

х (– 4; – 3) U(2; + ∞ ).

40) log ₆ (x + 1) + log ₆ (2x + 1) ≤ 1; 41) log ₄ (x + 3) + log ₄ (x + 15) ≥ 3. (Д/З)

log₆ (x + 1)(2x + 1) ≤ log ₆6;

2x² + 3x – 5 ≤ 0;

2x² + 3x – 5 = 0;

D = 3² – 4 · 2 · (– 5) = 49 = 7²;

х₁ = ; х₂ = ;

+ – +

•//////////•х

–2, 5 1

общее решение:

–2, 5– 1– 0, 5 1

•/////////////o/////////////o/////////• х

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

////////////////////////

х (–0, 5; 1].

З а д а н и е 3. Решите систему уравнений:

1) + 2) (Д/З)

– у = 5, – 5 – х = 3,

у = – 5; – х = 3 + 5,

– х = 8,

х = – 8.

Ответ: (– 8; –5).

3) 4) (Д/З)

Ответ: (3; 2).

Ответ: (7; 5).

х² – 2х + х – 56 = 0;

х² – х – 56 = 0;

по теореме Виета

у₁ =–7 – 2 =–9; у₂ =8 – 2 =6.

Ответ: (–7; –9) и (8; 6).

7) Пусть , и ; , то получим

Ответ: (136; 120).

8) (Д/З) 9) (Д/З) 10) (Д/З)

11)

…Дорешать самостоятельно

12)

Т. к. уравнение (4х – 3у)² = 49 можно разбить на два уравнения 4х – 3у = –7 и 4х – 3у = 7, то получим две системы уравнений:

1) 2)

7х = 14; 7х = 28;

х = 2; х = 4;

2 + у = 7; 4 + у = 7;

у = 5; у = 3.

Ответ: (2; 5) и (4; 3)

13) (Д/З) 14) (Д/З)