Главная

Контакты

Случайная статья

• Автоматизация
• Антропология
• Археология
• Архитектура
• Биология
• Ботаника
• Бухгалтерия
• Военная наука
• Генетика
• География
• Геология
• Демография
• Деревообработка
• Журналистика
• Зоология
• Изобретательство
• Информатика
• Искусство
• История
• Кинематография
• Компьютеризация
• Косметика
• Кулинария
• Культура
• Лексикология
• Лингвистика
• Литература
• Логика
• Маркетинг
• Математика
• Материаловедение
• Медицина
• Менеджмент
• Металлургия
• Метрология
• Механика
• Музыка
• Науковедение
• Образование
• Охрана Труда
• Педагогика
• Полиграфия
• Политология
• Право
• Предпринимательство
• Приборостроение
• Программирование
• Производство
• Промышленность
• Психология
• Радиосвязь
• Религия
• Риторика
• Социология
• Спорт
• Стандартизация
• Статистика
• Строительство
• Технологии
• Торговля
• Транспорт
• Фармакология
• Физика
• Физиология
• Философия
• Финансы
• Химия
• Хозяйство
• Черчение
• Экология
• Экономика
• Электроника
• Электротехника
• Энергетика

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

З а д а н и е 1. Решите уравнение:

1) 3х = 0;                          2) –4х = –8;                       3) 6х = – 12;       

х = 0.                                  х = 2.                                  х =

4) х + 2 = 4 – х;                5) 2х – 7 = 9; (Д/З)           6) (2х + 3) – (4х – 1) = 4;

х + х = 4 – 2;                                                                      2х + 3 – 4х + 1 = 4;

      2х = 2;                                                                                 2х – 4х = 4 – 3 – 1;

х = 1.                                                                                   – 2х = 0;

х = 0.

.

11) ;                                             12) ; (Д/З)

х² + 7 = 2⁴;

х² + 7 = 16;

х² = 16 – 7;

х² = 9;

  х = ± 3.

 13) ;                                             14) ; (Д/З)

х – 7 = 4²;

    х – 7 = 16;

    х = 23.

15) ;                                        16) ; (Д/З)

х = х² – 2;

х² – х – 2 = 0;

по теореме Виета

        Проверка.

  При х = – 1 ; ― не верно, то х = – 1 ― посторонний корень.

  При х = 2 ; ― верно, то х = 2 ― корень уравнения.

         Ответ: 2.

17) ;                                    18) ; (Д/З)

      11 – = 2³;

      11 – = 8;

      – = 8 – 11;

      – = – 3; | × (–1)

= 3;

х + 1 = 3²;

х + 1 = 9;

х = 8.

           Проверка.

; ; ; ; 2 = 2 ― верно.

        Ответ: 8.

19) ;                                 20) ; (Д/З)

       при замене , то и получим:

у² + 2у – 8 = 0;

       по теореме Виета

       решим два уравнения:

       1. ;                                 2. ;

            нет корней, т. к. – 4 < 0;             х = 2⁴;

х = 16.

       Ответ: 16.

21) ;                              22) (Д/З)

при замене = у получим:             23)  ; (Д/З)

;                                     24) ; (Д/З)

; при замене = у, то и получим:

; ;

; …Дорешать самостоятельно

;

у² – 5у + 6 = 0;                 5(у +2) ≠ 0;

решим два уравнения:

1. = 2;                2. = 3;

х = 8;                        х = 27.

Ответ: 8; 27.

25) ;                                26) ; (Д/З)

         5 ;

        25х(х – 2) = (3х)²;

        25х² – 50х = 9х²;

25х² – 50х – 9х²= 0;

16х² – 50х = 0;

         2х(8х – 25) = 0;

                 2х = 0 или 8х – 25 = 0;

х = 0       8х = 25;

х = .

                      Проверка.

                При х = 0 ; ― не верно, то х = 0 ― посторонний корень.

                При х = ; ; ;   

; ― верно, то х = ― корень уравнения.

                    Ответ: .

            27) ;                          28) ; (Д/З)

;

х + 2 = (4 – )²;

х + 2 = 16 – 8 + 3х – 2;

                   8 = 16 + 3х – 2 – х – 2;

                   8 = 2х + 12; |: 2

                   4 = х + 6;

                   16(3х – 2) = (х + 6)²;

                    48х – 32 = х² + 12х + 36;

х² + 12х + 36 – 48х + 32 = 0;

х² – 36х + 68 = 0;

            по теореме Виета

                       Проверка.

                   При х = 2 ; 4 = 4 ― верно, то х = 2 ― корень уравнения.

                   При х = 34 ; 16 = 4 ― не верно, то х = 34 ― посторонний корень.

Ответ: 2.

29) 30)

31) 2^{х – 1} = 32;          32) 5^{4 – х}= 125; (Д/З)        33) 0, 4^х= 0, 064;           34) 0, 6^х= 0, 36; (Д/З)

   2^{х – 1} = 2⁵; 0, 4^х= 0, 4³;

х – 1 = 5;                                                                     х = 3.

х = 6.

35) 3^х = ;                 36) ; (Д/З)         37) = 2^3х;            38) 4^{х – 2} = ; (Д/З)

   3^х = 3^–2;                                                                          2^{х – 2} = 2^3х;

х = –2.                                                                            х – 2 = 3х;

                                                                                               – 2х = 2;

х = – 1.

                                                                                          2^–3х = 2^{2х +1};

                                                                                          …

82 · 8х– 8х = 126;    47) 3х+3+ 5 · 3х – 1 = 86; 8х · (82 – 1) = 126; 63 · 8х = 126 |: 63; 23х = 21; 8х = 2; 3х = 1; х = .

;

;

х = 1.

4х + = 5;           при замене 4х = у получим: у + = 5; …Дорешать самостоятельно

  3^2х– 2 · 3¹ · 3^х – 27 = 0;                                    

  3^2х– 6 · 3^х – 27 = 0;

  при замене 3^х = у получим:

у²– 6у – 27 = 0;

решим два уравнения:

1. 3^х = –3;                            2. 3^х = 9;

      нет корней, т. к. –3 < 0;      3^х = 3²;

х = 2.

Ответ: 2.

51) 6 · 4^х – 13 · 6^х + 6 · 9^х = 0;                                       52) 4 · 3^2х + 3^х · 4^х – 3 · 4^2х = 0; (Д/З)

     6 · 2^2х – 13 · 2^х · 3^х + 6 · 3^2х = 0;

     разделим уравнение на 3^2х ≠ 0 и получим:

= 0;

+ 6 = 0;

     при замене = у получим:

     6у²– 13у + 6 = 0;

D = (–13)² – 4 · 6 · 6 = 169 – 144 = 25 = 5²;

у₁ = ;       у₂ = ;

     решим два уравнения:

     1. ;                  2. ;

= ;                   = ;

х = 1;                                х = –1.

Ответ: –1 и 1.

х = ;

х = 3.

56) log₆ x = – 2; (Д/З)57)log_{0, 4}х = 3; (Д/З)                             58) log₂(х² + 5) =log₂54; (Д/З)

log4x = log4 ; log4x = log448; х = 48.

log (3x – 2) = – 2;

 3х – 2 = ;

3х – 2 = 4;

3х = 6;

х = 2.

62) log_{0, 2} (2x – 3) = – 1; 63) log₇x = log₇ 2, 5 + 4log₇ 2 − log₇10;    64)log₅ (x + 4) = log₅ (1 – 2x); (Д/З)

65) 2log₅ (x+ 2) = log₅ (2x+ 12);              66) 2log₃ (x – 1) = log₃ (4x + 1); (Д/З)

log₅ (x + 2)² = log₅ (2x + 12);

  (x + 2)² = 2x + 12;

х² + 4х + 4 – 2х – 12 = 0;

х² + 2х – 8 = 0;

  по теореме Виета

Проверка.

При х = –4 2log₅ (–4 + 2) = log₅ (2 · (–4) + 12); 2log₅ (–2) = log₅4 ― не верно, то

х = –4 ― посторонний корень.

        При х = 2 2log₅ (2 + 2) = log₅ (2 · 2 + 12); 2log₅ 4 = log₅ 16; log₅ 16 = log₅ 16― верно, то

х = 2 ― корень уравнения.

Ответ: 2.

67) + log_{0, 5} x – 6 = 0;                           68) log₆(x – 2) + log₆(x – 11) = 2;

при замене log_{0, 5} x = у получим:                log₆(x – 2)(x – 11) = 2;

у²+ у – 6 = 0;                                                   (x – 2)(x – 11) = 6²;

х2 – 11х – 2х + 22 – 36 = 0; х2 – 13х – 14 = 0; по теореме Виета Проверка.      При х = –1 log6(–1 – 2) + log6(–1 – 11) = 2; log6(–3) + log6(–12) = 2 ― не верно, то х = –1 ― посторонний корень.      При х = 14 log6(14 – 2) + log6(14 – 11) = 2; log612 + log63 = 2; log636 = 2; 2 = 2― верно, тох = 14 ― корень уравнения. Ответ: 14.

решим два уравнения: 1. log0, 5 x = –3;          2. log0, 5 x = 2; х = 0, 5–3 = ;        х = 0, 52; х = 8; х = 0, 25. Ответ: 8 и 0, 25.

69) ; (Д/З)70) log₂ (2x – 1) = 2log ₂ 3 – log₂ (x – 4); (Д/З)

71) (Д/З)

З а д а н и е 2. Решите неравенство:

1)   –2х ≥ – 6;                   2)  4х> 20;                             3) –3х ≤ 12; (Д/З)

х ≤ 3;                                                   х> 5;                                  4) 6х< –18; (Д/З)

          ///////////////•             х                       ο ///////////// х

          – ∞       3                                                    5       +∞

х (– ∞; 3]. х (5; +∞ ).

5) х + 3 > 2х – 7;                         6) х² + х≥ 0;                                 7) х² + х – 2 < 0;

х – 2х> –7 – 3;                               х² + х = 0; х² + х – 2 = 0;

х< 10;                                             х = 0 или х + 1 = 0;

      ///////////////ο           хх = –1;

     – ∞      10                                          +      –     +

х (– ∞; 10).                                     ////////////•    •//////////// х                 +      –     +

                                                                 – ∞     –1   0     +∞                           ο //////////ο            х

х (– ∞; –1]U [0; +∞ ).                                 –2     1

х (– 2; 1)

8) 6 – 2х ≤ 4; (Д/З)                  9) х² – 2х ≤ 0; (Д/З)                   10) х² – 3х– 4 ≥ 0; (Д/З)

11) (Найти сумму целых решений)          12) (Д/З)

13) (Д/З)

2х – 8 = 0;               х + 3 ≠ 0;

2х = 8;                    х ≠ – 3;

х = 4.

+      –         +

         ο //////////•х

 –34

х (– 3; 4].

         Сумма целых решений – 2 + (– 1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7.

         Ответ: 7.

Правила: 1. Если в показательном неравенстве основаниеа> 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется.

             2. Если в показательном неравенстве основание 0< а< 1, то для показателей степени знак неравенства меняется.

14) ;                                                15) ; (Д/З)

;

     т. к. основание 0 < < 1, то для показателей степени знак неравенства меняется:

х ≥ 1.

•///////////// х

                 1       +∞

х [1; +∞ ).

16) 3^{2х + 9}< 27;                                            17) 5^{3х– 4} > 25; (Д/З)

3^{2х + 9}< 3³;

       т. к. основание 3 > 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

       2х + 9 < 3;

       2х< – 6;

х< – 3.

///////////////ο          х

        – ∞      – 3

х (– ∞; – 3).

18) 0, 2^{5 – х}≤ 0, 008;                                       19) 0, 7^х+1< 0, 49; (Д/З)

0, 2^{5 –х}≤ 0, 2³;

      т. к. основание 0 < 0, 2 < 1, тодля показателей степени знак неравенства меняется:

      5 – х≥ 3;

 – х≥ –2;

х≤ 2.

///////////////•            хх (– ∞; 2].

   – ∞       2

20) 6^х+4> 1;                                                 21) (Д/З)

      6^х+4> 6⁰;

      т. к. основание 6 > 1, то для показателей степени знак неравенства сохраняется:

х + 4 > 0;

х> –4.

o///////////// х

–4       +∞

х (–4; +∞ ).

22) ;                                              23) 4^х ≤ 32; (Д/З)

;

       т. к. основание 0 < < 1, то для показателей степени знак неравенства меняется:

       2х> 3;

х> 1, 5.

o///////////// х

               1, 5       +∞

х (1, 5; +∞ ).

32х– 12 · 3х + 27 ≥ 0; при замене 3х = у получим: у2– 12у + 27 ≥ 0; у2– 12у + 27 = 0; по теореме Виета

;

;

;

|: 6;

;

х ≤ –1.

///////////////•            х

   – ∞      –1

х (– ∞; –1].

26) 2^{х + 2} + 2^{х + 1} ≤ 24; (Д/З)27) 4^х – 6 ∙ 2^х + 8 < 0. (Д/З)

Правила: 3. Если в логарифмическом неравенстве основаниеа> 1, то для выражений под логарифмом знак неравенства сохраняется.

4. Если в логарифмическом неравенстве основание 0< а< 1, то для выражений под логарифмом знак неравенства меняется.

28) ;                                                       29) lg (x+2) > 3;      

, т. к.  = 3;                               lg (x + 2) > lg 1000, т. к. 10³ = 1000;

т. к. основание 0 < < 1, то для выражений             т. к. основание 10 > 1, то для выражений под

под логарифмом знак неравенства меняется: логарифмом знак неравенства сохраняется:

0 < х – 1 ≤ 3;                                                                           х + 2 > 1000;

1 < х ≤ 4;                                                                                 х> 998;

                   ο //////////•хo///////////// х

                    1      4                                                                         998       +∞

х (1; 4]. х (998; +∞ ).

30) log_{0, 8} (x + 6) < log_{0, 8} 9; (Д/З)                                    31) log₃ (x + 3) < log₃ 4; (Д/З)

32) ; (Д/З)33) ; (Д/З)

34) log₃(4x – 5)< log₃7 + 2;                                           35) log_{0, 7}(x + 4)> log_{0, 7}(19 – 4x);

log₃(4x – 5)< log₃7 + log₃9;

log₃(4x – 5)< log₃63;

т. к. основание 3> 1, то для выражений под

логарифмом знак неравенства сохраняется: – 4     3

0 < 4х – 5 < 63;                  //////////////ο //////////ο х

5 < 4х< 68;                                                                                 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

  1, 25 < х< 17; х (– 4; 3).

                   ο //////////ο            х

                 1, 2517

х (1, 25; 17).

36) log₂(3x + 2)< log₂5 + 4; (Д/З)37)log₇(4x – 6)> log₇(2x – 4); (Д/З)

38) ; 39) ; (Д/З)

x² + x – 6 > 0;                     

x² + x – 6 = 0;            

   по теореме Виета

+      –     +

////////////////ο ο //////////// х

 –32                                    

общее решение:

– 4– 32

   /////////////////ο ////////////ο ο //////////////// х

 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

х (– 4; – 3) U(2; + ∞ ).

40) log ₆ (x + 1) + log ₆ (2x + 1) ≤ 1;                            41) log ₄ (x + 3) + log ₄ (x + 15) ≥ 3. (Д/З)

log₆ (x + 1)(2x + 1) ≤ log ₆6;

  2x² + 3x – 5 ≤ 0;                        

  2x² + 3x – 5 = 0;                 

D = 3² – 4 · 2 · (– 5) = 49 = 7²;

   х₁ = ; х₂ = ;

+      –     +

•//////////•х

 –2, 5  1

  общее решение:                                                          

–2, 5– 1– 0, 5 1                            

                 •/////////////o/////////////o/////////•         х

                                 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

                                                 ////////////////////////

х (–0, 5; 1].

З а д а н и е 3. Решите систему уравнений:

1)  +                   2)  (Д/З)

       – у = 5,              – 5 – х = 3,

у = – 5; – х = 3 + 5,

 – х = 8,

х = – 8.

Ответ: (– 8; –5).

3) 4)   (Д/З)

       Ответ: (3; 2).     

5)

      Ответ: (7; 5).

6)

х² – 2х + х – 56 = 0;

х² – х – 56 = 0;

по теореме Виета

у₁ =–7 – 2 =–9;      у₂ =8 – 2 =6.

Ответ: (–7; –9) и (8; 6).

 7)     Пусть ,   и ; , то получим

Ответ: (136; 120).

8)  (Д/З)           9) (Д/З)        10)  (Д/З)

  11)

…Дорешать самостоятельно

12)

      Т. к. уравнение (4х – 3у)² = 49 можно разбить на два уравнения 4х – 3у = –7 и 4х – 3у = 7, то получим две системы уравнений:

1)          2)

7х = 14; 7х = 28;   

х = 2;                                 х = 4;

              2 + у = 7;                        4 + у = 7;

у = 5;                                   у = 3.

           Ответ: (2; 5) и (4; 3)

13) (Д/З)            14) (Д/З)