Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка.

Дать определения следующих понятий:

Дифференциальное уравнение, решение дифференциального уравнения , геометрический смысл дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной, интегральная кривая, изоклины, поле направлений, общее решение, частное решение, особое решение, интеграл и общий интеграл, интегрирующий множитель, условие Липшица.

Написать общий вид уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные уравнения.
Линейное уравнение 1-ого порядка.
Уравнение Бернулли.
Уравнение Риккати.
Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнения, не разрешенные относительно первой производной. (*)

Сформулировать теоремы:

1. Необходимый и достаточный признак особых решений уравнений вида y’=f(y).

2. Теорема о свойствах решений линейного однородного уравнения.

3. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения.

4. Теорема о существовании интегрирующего множителя.

5. Теорема о связи интегрирующего множителя и особых решений.

6. Теорема о неединственности интегрирующего множителя.

7. Теорема о связи двух интегрирующих множителей и следствие из нее.

8. Теорема Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.

9. Лемма Гронуолла.

10. Лемма о дифференциальном неравенстве. (*)

11. Теорема о продолжении решения (случаи ограниченной и неограниченной функции и области). (*)

12. Теорема о продолжении решения на весь заданный интервал (в том числе бесконечный). (*)

13. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и правой части уравнения. (*)

14. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной. (*)