Модуль 4 Сызықты емес электрлік тізбектер

Практикалық сабақ №12

Сызық ты емес элементтері бар тармақ талмағ ан тізбектер

Сызық ты емес элементтері бар тармақ талмағ ан тізбектерді есептеудің графикалық ә дісі. Сызық ты емес элементтері бар тармақ талғ ан электр тізбектерін есептеу мысалдары.

Задача 6. 1. Зависимость u(t), показанная на рис. 6. 1, а и заданная табл. 6. 1 (для первой четверти периода), имеет симметрию относительно начала координат (нечетная) и относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов: u(t) = -u(-t) = -u(t+T/2). Разложить зависимость u(t) в ряд Фурье и построить ее линейный спектр частот.

Таблица 6. 1. Значения функции u(t) для первой четверти периода

при Δ t = 0, 5 мс

t, мс	0, 5	1, 0	1, 5	2, 0	2, 5	3, 0	3, 5	4, 0	4, 5	5, 0
u_n, В	12, 35	17, 53	15, 89	16, 09	28, 15	54, 93	89, 78	121, 7	142, 7	149, 8
n

-150

-75

мс

Рис. 6. 1

а)

2k-1

u_m

б)

Решение

Функция u(t) обладает одновременно двумя видами симметрии. Она нечетная и вместе с тем симметричная относительно оси абсцисс. Поэтому в ее разложении присутствуют только синусоиды с нечетным порядковым номером, а значение интеграла, определяющего амплитуду (2k–1)-ой гармоники, вычисляется за четверть периода с умножением результата на 4. Тогда значение амплитуды U_m₂_k_–1 определяется выражением:

. (6. 1)

При использовании приближенного интегрирования период функции делится на равное число интервалов (в нашем случае их число N = 40) и производится замена dt = Т/N = Т/40. Однако, ввиду того, что значение функции определяется для конца интервала, и эти значения будут разными у двух симметричных интервалов, то с целью получения более точного результата за счёт компенсации положительной погрешности одного интервала отрицательной погрешностью симметричного интервала приближённое интегрирование должно выполняться за полпериода. Поэтому продолжим табл. 6. 1 до половины периода.

Продолжение таблицы 6. 1. Значения функции u(t) для второй четверти

периода при Δ t = 0, 5 мс

t, мс	5, 5	6, 0	6, 5	7, 0	7, 5	8, 0	8, 5	9, 0	9, 5	10, 0
u_n, В	142, 7	121, 7	89, 78	54, 93	28, 15	16, 09	15, 89	17, 53	12, 35
n

Тогда последнее выражение (6. 1) приводится к виду (суммирование за половину периода):

, (6. 2)

где Т = 0, 02 с – период функции u(t);

n = 1…20 – номер интервала приближенного интегрирования при Δ t = T/40.

Используя данные табл. 6. 1 и в соответствии с выражением (6. 2) выполнив расчетные действия для амплитуд первых 10 гармонических составляющих (учитывая только нечетные), получим:

U_m₁ = 100 В; U_m₃ = -40 В; U_m₅ = 15 В; U_m₇ = 5 В; U_m₉ = -0, 19 В.

Девятая гармоника, ввиду ее малости, может не учитываться в дальнейших действиях.

Определение мгновенного значения разложения функции u(t) в ряд Фурье (нечетные гармоники 1…9):

Примечание: выражение для u(t), записанное в более привычной “литературной“ форме имеет вид:

u(t) = 100sin(wt) – 40sin(3wt) + 15sin(5wt) + 5sin(7wt) – 0, 19sin(9wt).

Графики функции u(t) и амплитудного частотного спектра – на рис. 6. 1.

Задача 6. 2. Периодическое пилообразное напряжение, описываемое на интервале 0 < ω t< 2π функцией: u(ω t) = , представьте разложением в ряд Фурье.

Решение

Постоянная составляющая (нулевая гармоника):

Кстати, она также находится из формулы для площади треугольника.

Коэффициенты синусных составляющих k-ой гармоники ряда Фурье определяются выражением:

Аналогично для коэффициентов косинусных составляющих:

Таким образом, в разложении функции u(ω t) присутствуют только синусоидальные составляющие и разложение имеет вид:

. (6. 3)

Рис. 6. 2. Графики функции u(t). n = 1 – первая гармоника разложения (6. 3); n = 5 – сумма пяти гармо- ник разложения (6. 3); n = 50 – то же, сумма пятидесяти гармоник.

На рис. 6. 2 приведены графики функции u(ω t), построенные в соответствии с (6. 3) для различного числа гармоник. Очевидно, что увеличение числа гармоник повышает точность представления исходной функции. Однако при этом всё в большей мере проявляются характерные “выбросы“ в точках разрыва исходной функции (явление Гиббса[1]). Это явление характерно тем, что функция, представленная тригонометрическим рядом, переходя через разрыв, делает скачок, превышающий исходную функцию примерно на 18%. Из-за явления Гиббса представление разрывных функций в окрестности

Рис. 6. 3

Задача6. 3. Синусоидальное напряжение с амплитудой U_m, у которого “срезаны“нижние полуволны (рис. 6. 3, а)[2], представить разложением в тригонометрический ряд.

Задача 6. 4. Напряжение на выходе однофазного мостового выпрямителя, описываемое функцией (рис. 6. 3, б), представить разложением в тригонометрический ряд.