Модуль 3 Таратылған параметрлері бар тізбектер

Модуль 3 Таратылғ ан параметрлері бар тізбектер

Практикалық сабақ №10

Таратылғ ан параметрлері бар электрлік тізбектер

Таратылғ ан параметрлері бар тізбектерді есептеу.

Задача 8. 1. Для определения параметров линии связи длиной 160 км на частоте 1000 Гц поставлены опыты холостого хода и короткого замыкания, в результате которых получено: Z_ХХ = 887·е^-^j^35°Ом, Z_КЗ = 540·е^j^21°Ом. Определить первичные и вторичные параметры линии.

Решение

1. Определяем вторичные параметры линии.

Z_с = = 692·е^-j7°Ом, thgl = = 0, 780·е^j^28° = 0, 688 + j0, 366;

= = 3, 6·е^j^{61, 83° = j1, 08}^рад = е²^α^l·е^j²^β^l.

Это равенство распадается на два: е^2α^l= 3, 6

и 2β l = 1, 08 + 2π k.

Из первого равенства находим коэффициент затухания

2α l=lпе^2α^l= lп 3, 6 = 1, 281, α = 0, 004Нп/км.

Чтобы оценить число k полных 2π радиан на всей длине линии, определим ориентировочно при v = 300∙ 10³км/с общий сдвиг по фазе на всей длине линии:

2β ¢ l = 2l∙ = 2∙ 160∙ = 6, 702 рад> 2π , k = 6, 702/6, 283 ≈ 1.

Следовательно: 2β l = 1, 08 + 2π ∙ 1, откуда β = 0, 023 рад/км.

Таким образом, Z_с = 692·е^-^j^7°Ом,

γ = α +jβ = 0, 004 +j0, 023 = 0, 0233е^j^{80, 13°} 1/км.

2. Определяем первичные параметры линии:

Z₀ = r₀ + jwL₀=g× Z_c = 0, 0233е^j^{80, 13°}∙ 692е^-^j^7° = 16, 12е^j^{73, 13°} = 4, 68 + j15, 43 Ом,

Y₀ = g₀+ jwC₀ = g/Z_c = 0, 0233е^j^{80, 13°}/(692е^-^j^7°) =

= 33, 67∙ 10^-6·е^j^{87, 13°} = (1, 68 + j33, 63)∙ 10^-6См/км.

С учётом частоты w = 2π ∙ f = 6283 рад/с окончательно получаем:

r₀ = 4, 68 Ом/км, g₀= 1, 68∙ 10^-6 См/км,

L₀= 15, 43/6283 Гн/км = 2, 46 мГн/км, C₀= 33, 63∙ 10^-6/6283 Ф/км = 5, 35 нФ/км.

Задача 8. 2. Из опытов холостого хода и короткого замыкания для линии связи длинойl= 120 кмна частоте 800 Гц найдено: Z_ХХ = 182е^j^{3, 55°}Ом, Z_КЗ = 209е^-^j^{22, 1°}Ом. Требуется определить вторичные и первичные параметры линии, а также вычислить входное сопротивление линии, если её нагрузить на Z_Н = 2Z_С.

ЗАДАЧА 8. 3. Экспериментальным путём удалось получить некоторые параметры линии связи длиной l =140 км, работающей на частоте f =1500 Гц: Z_C= 710× e^-^j⁹^°Ом, Z₀= 19, 2× e^j⁷⁰^°Ом/км. Требуется рассчитать первичные и вторичные параметры, определить входное сопротивление в режиме холостого хода и в режиме короткого замыкания.

Решение

Угловая частота w = 2pf = 2p× 1500 = 9425 рад/с.

Поскольку Z₀= r₀ + jwL₀ = 6, 57 + j18, 04 Ом/км, то первичные продольные параметры

r₀ = Re(Z₀) = 6, 57 Ом/км, L₀ = Im(Z₀) = = 1, 91× 10^–3Гн/км.

Далее из Z_С= находим

Y₀= g₀+jwC₀ = = = 38, 1× 10^–6× e^j⁸⁸^°= (1, 33+j38, 08)× 10^–6Cм/км.

Отсюда поперечные первичные параметры

g₀ = Re(Y₀) = 1, 33× 10^–6Cм/км,

C₀ = Im(Y₀) = × 10^–6= 4, 04× 10^–9Ф/км.

Вторичные параметры:

- характеристическое сопротивление Z_C= 710× e^–^j⁹^°Ом,

- коэффициент распространения

g = = =27, 1× 10^-3× e^j⁷⁹^°=(5, 16+j26, 55)× 10^-31/км.

Отсюда коэффициент затухания – a= Re(g) = 5, 16× 10^–3Нп/км,

коэффициент фазы – b= Im(g) = 26, 55× 10^–3рад/км.

Вычисляем гиперболические функции: gl = 0, 722 + j3, 717;

e^g^l = 2, 059× e^j²¹³^°= -1, 727 – j1, 121; e^–^g^l = 0, 486× e^–j213^°= -0, 407 + j0, 265;

shgl = ½ [e^g^l – e^–^g^l] = -0, 660 – j0, 693 = 0, 957× e^{-j133, 6}^°;

chgl = ½ [e^g^l + e^–^g^l] = -1, 067 – j0, 428 = 1, 150× e^{-j158, 1}^°;

thgl = shgl/chgl = 0, 832× e^j^{24, 5}^°.

Сопротивления холостого хода и короткого замыкания:

Z_1X= Z_C/thgl = 710× e^–j9^°/(0, 832× e^j^{24, 5}^°) = 854× e^{–j33, 5}^°Ом,

Z₁_К= Z_Cthgl = 710× e^–j9^°× 0, 832× e^j^{24, 5}^° = 591× e^j^{15, 5}^°Ом.

ЗАДАЧА8. 4. Для двухпроводной воздушной линии связи известны вторичные параметры на частоте 50 Гц:

Z_C= 440× e^–^j¹⁰^°Ом, g = (4+j18)× 10^–3 1/км.

Эта линия работает на постоянном токе и питает нагрузку r_Н= 400 Ом. Напряжение на входе линии u₁ = 600 В. Определить u₂ и I₁, если длина линии l = 200 км.

Решение

Определим первичные параметры линии r₀и g₀, которые при работе линии на постоянном токе останутся теми же:

r₀= Re(g ·Z_C) =Re(18, 44·10^-3·e^j^{77, 5}^°·440·e^–^j¹⁰^°) = 3, 105 Ом/км,

g₀=Re =Re = 1, 826·10^-6Cм/км.

Вторичные параметры линии при работе на постоянном токе:

Z_C= = = 1303 Ом,

g = = = 2, 382·10^-3 1/км.

Напряжение в конце линии и ток в начале линии найдём, используя основные уравнения длинной линии в гиперболических функциях с учётом того, что I₂ = u₂/r_Н:

u₁ = u₂·ch gl + I₂Z_C·sh gl = u₂·ch gl + Z_C·shgl = u₂·(chgl + shgl),

отсюда искомое напряжение

u₂ = = = 220 В.

Ток в начале линии

I₁= ·shgl + I₂·chgl = ·shgl + ·chgl = ·0, 4945 + ·1, 116 = 0, 697 А.

Задача8. 5. Телефонная линия длиной 25 км на частоте 800 Гц обладает параметрами: Z_С=366, 2е^-^j^{40, 58°}Ом, γ = (36, 15 + j41, 75)∙ 10^-3 1/км. Определитьнапряжение, токимощностьсигналанавходелинии, если линия подключается к источнику постоянного тока при r_н = 1500 Ом и токе I₂= 50 мА.

Задача8. 6. Определить сопротивления Т- и П-схем замещения ЛРП длиной l = 400 км с параметрами:

Z_С= 391е^-^j^{3, 75°}Ом и γ = (0, 187 + j1, 058)∙ 10^-3 1/км.

ЗАДАЧА8. 7. Трёхфазная сталеалюминиевая воздушная линия электропередачи длиной 300 км имеет следующие параметры (на фазу):

r₀ =0, 08 Ом/км, g₀ =3, 75× 10^–8Cм/км, wL₀ =0, 42 Ом/км, wC₀ =2, 7 мкСм/км.

Вычислить вторичные параметры линии, фазовую скорость и длину волны.

Найти фазное напряжение, ток и активную мощность в начале линии, КПД, если на приёмном конце линейное напряжение 330 кВ, активная мощность 300 МВт и коэффициент мощности нагрузки равен 0, 92.

Вычислить комплексы напряжения падающей и отражённой волн в начале и в конце ЛЭП.

Решение

Предполагаем, что нагрузка линии симметрична, соединена звездой. Поэтому расчет выполним для одной фазы.

Рассчитаем вторичные параметры линии:

- характеристическое сопротивление

Z_C= = = = 398× e^–^j⁵^°Ом,

- коэффициент распространения

g = = =

=1, 07× 10^–3× e^j^{84, 2}^°= (0, 108+j1, 069)× 10^–3 1/км.

Отсюда коэффициент затухания – a= Re(g) = 0, 108× 10^–3Нп/км,

коэффициент фазы – b= Im(g) = 1, 069× 10^–3рад/км.

Фазовая скорость и длина волны:

v = = = 294 000 км/с; λ = = = 5880 км.

Вычисляем гиперболические функции: gl = 0, 033 + j0, 321;

e^g^l = 1, 033× e^j^{18, 4}^°= 0, 980 + j0, 326; e^–^g^l = 0, 968× e^{-j18, 4}^°= 0, 919 – j0, 305;

shgl = ½ [e^g^l – e^–^g^l] = 0, 031 + j0, 316 = 0, 317× e^j^{84, 4}^°;

chgl = ½ [e^g^l + e^–^g^l] = 0, 949 + j0, 01 = 0, 950× e^j^{0, 62}^°.

Получим комплексы фазных напряжения и тока в конце линии:

u₂_Ф= = = 190, 5 кВ; cosj₂= 0, 92, поэтомуj₂= 23, 1°;

I₂_Ф= = = 0, 571кА; y_i₂ = y_u₂ – j₂= -j₂;

I₂_Ф= I₂_Ф·e^-j^j²= 0, 571× e^{–j23, 1}^°кА.

По основным уравнениям длинной линии в гиперболических функциях (8. 4) рассчитаем комплексы фазных напряжения и тока в начале линии:

u₁_Ф= u₂_Ф·chgl + I₂_ФZ_C·shgl =

= 190, 5·0, 95× e^j^{0, 62}^° + 0, 571× e^{–j23, 1}^°·398× e^–j5^°·0, 317× e^j^{84, 4}^° = 229, 3·e^j^{15, 6}^°кВ;

I₁_Ф= ·shgl + I₂_Ф·chgl = ·0, 317× e^j^{84, 4}^° + 0, 571× e^{–j23, 1}^°·0, 95× e^j^{0, 62}^° =

= 0, 505× e^-^j^{6, 3}^°кА.

Активная мощность в начале линии

Р₁= 3Re(u₁_Ф· ) = 3·229, 3·0, 505·cos(15, 6° + 6, 3°) = 322 МВт.

Коэффициент полезного действия линии

h=Р₂/Р₁= 300/322 = 0, 93.

Электромагнитные процессы в длинной линии рассматриваются как результат наложения падающей (прямой) и отражённой (обратной) волн –

u= u_отр+ u_пад = А₁e^g^х + А₂e^-^g^х,

I= -I_отр+ I_пад = - e^g^х + e^-^g^х,

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, которые определяются, например, через напряжение и ток в конце линии:

А₁= e^-^g^l = ·0, 968× e^-^j^{18, 4}^°= 51, 9× e^j^{76, 8}^°;

А₂= e^g^l = ·1, 033× e^j^{18, 4}^°= 209, 3× e^j^{3, 1}^°.

В начале линии х= 0, поэтому

u_пад(х = 0) = А₂= 209, 3× e^j^{3, 1}^°кВ, u_отр(х = 0) = А₁= 51, 9× e^j^{76, 8}^°кВ,

I_пад(х = 0) = u_пад(х = 0)/Z_C = 0, 526× e^j^{8, 1}^° кA,

I_отр(х = 0) = u_отр(х = 0)/Z_C = 0, 13× e^j^{81, 8}^°кA.

В конце линии х= l, поэтому

u_пад(х = l) = А₂·e^-^g^l = = 202, 6× e^–^j^{15, 3}^°кВ,

u_отр(х = l) = А₁·e^g^l= = 53, 6× e^j^{95, 2}^°кВ,

I_пад(х = l) = u_пад(х = l)/Z_C = 0, 509× e^–^j^{10, 3}^° кA,

I_отр(х = l) = u_отр(х = l)/Z_C = 0, 135× e^j^{100, 2}^°кA.

Как и следовало ожидать, из-за потерь в линии падающая волна уменьшается к концу линии, а отражённая волна затухает в направлении от конца линии к началу.

ЗАДАЧА8. 8. В конце линии задачи 8. 7 произошло: а) отключение нагрузки; б) трёхфазное короткое замыкание. Для каждого случая определить линейные напряжения и токи в начале и в конце линии, если фазное напряжение на входе осталось таким, как рассчитано в задаче 8. 7.

Определить также значения напряжения и тока падающей и отражённой волн в конце линии.

Решение

При решении задачи воспользуемся основными уравнениями длинной линии в гиперболических функциях (8. 4).

а) при отключении нагрузки (режим холостого хода) ток в конце линии

I_2Ф= 0, поэтому

u_2Ф= = = 241× e^j¹⁵^°кВ, u_2Л= u_2Ф= ·241 = 418 кВ;

I₁_Ф= shgl = ·0, 317× e^j^{84, 4}^° = 0, 192× e^j^{104, 4}^°кА, I₁_Л= I₁_Ф= 0, 192кА.

В режиме холостого хода коэффициент отражения +1, то есть падающая волна отражается полностью, причём без изменения знака. Поэтому

u_пад(х = l) = u_отр(х = l). С учётом этого

u_2Ф= u_пад(х = l) + u_отр(х = l) = 2u_пад(х = l) = 241× e^j¹⁵^°кВ,

откуда u_пад(х = l) = u_отр(х = l) = u_2Ф/2 = 120, 5× e^j¹⁵^°кВ,

I_пад(х = l) = I_отр(х = l) = u_пад(х = l)/Z_C = 0, 303× e^j¹⁰^° кА.

б)при коротком замыкании напряжение в конце линии

u_2Ф= 0, поэтому

I_2Ф= = = 1, 817× e^–^j^{63, 8}^°кА, I_2Л= I_2Ф= 1, 817 кА;

I_1Ф= I_2Ф·сhgl = 1, 817× e^–^j^{63, 8}^°·0, 95× e^j^{0, 6}^° = 1, 726× e^–^j^{63, 2}^°кА, I_1Л= I_1Ф= 1, 726кА.

В режиме короткого замыкания коэффициент отражения равен -1. Поэтому I_пад(х = l) = -I_отр(х = l). С учётом этого

I_2Ф= I_пад(х = l) – I_отр(х = l) = 2I_пад(х = l) = 1, 817× e^–^j^{63, 8}^° кА,

откуда I_пад(х = l) = -I_отр(х = l) = I_2Ф/2 = 0, 909× e^–^j^{63, 8}^° кА,

u_пад(х = l) = -u_отр(х = l) = I_пад(х = l)·Z_C = 362× e^–^j^{58, 8}^°кВ.

Задача8. 9. В режимах а) холостого хода и б) короткого замыкания определить линейные напряжения и токи в начале и в конце линии задачи 8. 8, если её длина 900 км, а фазное напряжение на входе u_1Ф= 229, 3кВ.

Задача8. 10. Для трёхфазной ЛЭП, согласованной с нагрузкой, известны комплексы фазного напряжения в начале линии U₁= 100кВ и фазного тока в конце линии i₂ = 190е^–^j⁹⁰^°A. Определить КПД линии, если её характеристическое сопротивление Z_C= 500е^–^j¹⁰^°Ом.

Решение

Поскольку линия согласована с нагрузкой, сопротивление нагрузки равно характеристическому, и тогда напряжение в конце линии

U₂= i₂·Z_C= 0, 19е^–j90^°·500е^–j10^° = 95е^–j100^°кВ.

Поскольку при согласованной нагрузке U₂= U₁e^-^a^l, то

e^-^a^l =U₂/U₁ = 95/100 = 0, 95.

КПД линии h= e^-2^a^l =0, 95²= 0, 903.