1. Перпендикуляр и наклонная. Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.. Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данн

Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

1. Перпендикуляр и наклонная

Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB —наклонная;
B — основание наклонной.

Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC — перпендикуляр;

C — основание перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB — проекция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

˂ CBA — угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если AD> AB, то DC> BC.

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

˂ DAB — угол между наклонными;
˂ DCB — угол между проекциями.
Отрезок DB — расстояние между основаниями наклонных.

2. Теорема о трёх перпендикулярах

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

a⊥ AB

a⊥ AB, BC⊥ BA}⇒ a⊥ CA

Обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

a⊥ AC

a⊥ AC, BC⊥ BA}⇒ a⊥ BA

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведён перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

Рисунок:

ABCD — квадрат, все углы которого равны по 90° градусов.

1. Грань ASB — прямоугольный треугольник,

2. Грань BSC — прямоугольный треугольник,

т. к. BS — перпендикуляр к плоскости

3. Грань DSC — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: CD⊥ BC, т. к. ABCD− квадратSB⊥ BC, т. к. перпендикуляр}⇒ CD⊥ SC; значит, ˂ SCD= 90°. 4. Грань ASD — прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: AD⊥ AB, т. к. ABCD− квадрат, SB⊥ AB, т. к. перпендикуляр}⇒ AD⊥ SA; значит, ˂ SAD= 90°. 3. Двугранный угол Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями. Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла. Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥ a и BC⊥ a, а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ˂ ACB. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре a. Обрати внимание! Величина двугранного угла 0°< ˂ ACB < 180°. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет 90°, то три остальных угла — тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными. Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач. 1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. 2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей. 3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости. Задача № 1 В Δ АВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см. Через точку В к плоскости треугольника проведен перпендикуляр BD длиной 15 см. а) Укажите проекцию Δ DBC на плоскость ABC. б) Найдите расстояние от точки D до прямой АС. Дано: Δ АВС, АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, DB ⊥ (ABC), DB = 15 см. Найти: а) проекцию Δ DBC на (ABC), б) расстояние от точки D до АС.

Решение: а) 1. Так как DB ⊥ (ABC) по условию, то проекцией отрезка DB является точка В, проекцией наклонной DC является отрезок ВС. 2. Проекцией Δ DBC на (ABC) является отрезок ВС. б) 1. Расстояние от точки D до прямой АС-это длина перпендикуляра. 2. Так как в Δ DBC ∠ B = 90° и в Δ DBA ∠ B = 90°, катет DB общий, ВА = ВС по условию, то Δ DBC = Δ DBA по двум катетам. Значит, DA = DC. 3. Δ CDA - равнобедренный. 4. DK - высота, медиана и биссектриса в Δ CDA. Значит, длина отрезка DK - это расстояние от точки D до АС. 5. Δ DBK, ∠ B = 90°,

6. Применим теорему косинусов,

7. ВК является катетом в одном из равных треугольников ВКА и ВКС. Рассмотрим Δ ВКА, ∠ K = 90°,

Так как в Δ АКB, ∠ K = 90°, ∠ B - острый, то cos ∠ B > 0. Значит,

(Ответ: а) BС; б) 17 см. ) Задача 2 ABCD - прямоугольник; АК ⊥ (ABC), KD = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см (рис. 1). Найти: расстояние от точки К до (ABC).

Решение: 1. Длина АК - расстояние от К до (ABC) по определению. 2. Так как DC ⊥ AD, AD проекция KD, то по ТТП; DC ⊥ KD, значит, в Δ KDC ∠ D = 90°.

3. СВ ⊥ КВ;

4. Из Δ ADC ∠ D = 90°.

5. Из Δ КАС ∠ A = 90°.

Домашняя работа Задача № 3 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. SO - перпендикуляр к плоскости квадрата, SO = 4√ 2 см. а) Докажите равенство углов, образуемых прямыми SA, SC и SD с плоскостью квадрата, б) Найдите эти углы, если периметр ABCD равен 32 см.