Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)

Теорема Лагранжа. Если функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

то существует, по крайней мере, одна точка , такая, что

. (1)

Геометрическая иллюстрация.

Из : . Таким образом, если во всех точках дуги AB существует касательная, то на этой дуге найдётся точка C между A и B, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки A и B.

Пример: Проверьте, применима ли теорема Лагранжа к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, найдите точку c, в которой выполняется равенство (1).

Решение. Функция :

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале .

Тогда существует точка , такая, что выполняется равенство (1).

Находим значения , , , .

По формуле (1) получаем:

Находим корни квадратного уравнения , т. е. . Получаем , , где . Таким образом, .