Радиус вписанной окружности в ромб

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Выразить радиус вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно, формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

2. Выразить радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р– периметр ромба.

Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P=4× а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей . Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

3. Выразить радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

То чка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF. Пусть AF=m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.

Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т. к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе.

Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности