Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья





ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Ключевые понятия. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА. Пример.



ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

План

 

1. Определители квадратной матрицы и их свойства.

2. Теоремы Лапласа и аннулирования.

 

Ключевые понятия

 

Алгебраическое дополнение элемента определителя.

Минор элемента определителя.

Определитель второго порядка.

Определитель третьего порядка.

Определитель произвольного порядка.

Теорема Лапласа.

Теорема аннулирования.

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА

 

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

 

А= .

 

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

= det A= Δ = .

 

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядка матрицы  называется число, определяемое по правилу:

 

= =  – ,                             (1)

 

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Пример.

= , тогда = = 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.

 

Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

= .

 

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

 

= – , = – .

 

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

 

=  или = .

 

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

 

=0,  = 0.

 

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

= + , = + .

 

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

 

= + = ,

 

так как =0 по свойству 5.

 

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядка квадратной матрицы называется число

 

Δ = = det A= =

= + + ,

(2)

 

т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):

 

 

 


Пример. Вычислить определитель 

 

 = =

= =

= .

 

 



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.