![]()
|
||||||||||
ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. Ключевые понятия. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА. Пример.Стр 1 из 2Следующая ⇒ ЛЕКЦИЯ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ План
1. Определители квадратной матрицы и их свойства. 2. Теоремы Лапласа и аннулирования.
Ключевые понятия
Алгебраическое дополнение элемента определителя. Минор элемента определителя. Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Определитель произвольного порядка. Теорема Лапласа. Теорема аннулирования. 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А=
Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое
Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц. Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно. Определителем второго порядка матрицы
т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали. Пример.
Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число. Из определения определителя второго порядка следуют его свойства: 1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:
2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:
4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:
6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:
7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число
так как
Остальные свойства определителей рассмотрим ниже. Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьегопорядка квадратной матрицы называется число
Δ = = (2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
Пример. Вычислить определитель
= =
|
||||||||||
|