Решение задач. Задача 573.. Задача 575.

Решение задач

Задача 573.

Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴ АВ.

Доказательство:

1. АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный.

2. Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴ АВ. Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴ АВ.

Задача 575.

Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.

Решение:

1. Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы).

В сечении получим окружность радиуса r.

2. Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы.

Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой.

ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Найдём его.

3. Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то

МА=МВ=