Определение синуса и косинуса. Если точка на числовой окружности соответствует числу , то абсциссу точки называют косинусом числа , а ординату точки называют синусом числа .. Задача 1

Синус и косинус.

На этом уроке мы повторим сведения о числовой окружности и ее важное свойство. Дадим определение синуса и косинуса на базе координат числовой окружности. Далее решим типовые прямые и обратные задачи с синусом и косинусом числа.

Определение синуса и косинуса

Поместим числовую окружность (окружность с радиусом, равным 1) в координатную плоскость (см. Рис. 1). Точки , , , – это точки пересечения числовой окружности с осями координат.

Рис. 1. Числовая окружность в координатной плоскости

Числу соответствует единственная точка с координатами . Первая координата – это косинус числа , вторая координата – это синус числа .

Если точка на числовой окружности соответствует числу, то абсциссу точки называют косинусом числа, а ординату точки называют синусом числа.

– это линия синусов. Синус любого числа лежит в пределах от до .

– это линия косинусов. Косинус любого числа лежит в пределах от до .

Задача 1

Дано: .

Найти: ; .

Решение

Решим данную задачу двумя способами:

1 способ (см. Рис. 2)

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

1. Отметим на единичной окружности точку , которая соответствует заданному числу :

Число можно представить в виде . Точка на числовой окружности соответствует числу , следовательно, точка будет лежать на числовой окружности в третьем координатном углу.

2. Опускаем перпендикуляры из точки на оси координат:

- точка – это точка пересечения перпендикуляра с осью , координаты этой точки .

- точка – это точка пересечения перпендикуляра с осью , координаты этой точки .

3. Рассмотрим :

- гипотенуза .

- угол равен угловому измерению дуги , то есть .

- катет равен произведению гипотенузы на косинус прилежащего угла, то есть:

- этот прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как один из его углов равен , следовательно:

Так как , то .

Значит, , (в обоих случаях знак минус, так как точка лежит на числовой окружности в третьем координатном углу, где значения координаты и отрицательны).

2 способ

Воспользуемся следующими свойствами:

Согласно этим свойствам получаем:

Ответ: ; .

Задача 2

Решить уравнение:

1.

Решение

Синус числа – это ордината точки, находящейся на числовой окружности (см. Рис. 3). Поэтому чтобы определить, где , нам надо найти, где на единичной окружности . Двигаясь вверх по оси , попадаем в точку , которая соответствует числу .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Это только одна из точек, в которых синус равен 1. Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к прибавить , где – целое число, то есть .

Ответ: , где .

2.

Решение

Отрезок – это линия синусов (см. Рис. 3). При этом значение синус принимает в точке , которая соответствует числу . Через полный оборот окружности мы снова попадем в эту точку, через два, три и так далее – тоже. Чтобы учесть все точки, в которых , необходимо к прибавить , где – целое число, то есть .

Ответ: , где .

3.

Решение

Отрезок – это линия косинусов (см. Рис. 4). Обозначим на этой линии точку с координатами . Эта точка будет лежать посередине отрезка , так как .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Проведем через точку перпендикуляр к оси . Мы получили две точки на пересечении перпендикуляра и числовой окружности – и (только эти точки проектируются на линию косинусов в точку ).

Необходимо определить длину дуги . Данная дуга состоит из дуги , длина которой равна , и дуги :

Для того чтобы определить длину дуги , рассмотрим треугольник . Этот треугольник прямоугольный, катет равен половине гипотенузы , следовательно, угол . Так как углы и – это накрест лежащие углы, то . Отсюда следует, что .

Таким образом:

Следовательно, точке соответствуют числа , где – целое число. Аналогично точке соответствуют числа , где – целое число.

Ответ: , где .