«Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач».

«Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач».

Выполнить тест

Выбрать правильный ответ.

1. Что такое вектор?

а) вектор - это направленный отрезок;

б) вектор - это отрезок имеющий координаты;

в) вектор – это прямая, имеющая направление.

2. Что такое абсолютная величина вектора?

а) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор;

б) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется отрезок, изображающий вектор;

в) абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина, изображающая вектор.

3. Что такое нулевой вектор?

а) вектор, абсолютная величина которого не существует;

б) вектор, у которого начало совпадает с его концом;

в) вектор, не имеющий ни начала, ни конца.

4. Какие векторы называются равными?

а) два вектора называются равными, если они не совмещаются параллельным переносом;

б) два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом;

в) два вектора называются равными, если они одинаково направлены.

5. Определение суммы векторов.

а) суммой векторов а и в с координатами (а_1, а_2, а₃₎ и (в₁, в₂, в₃ ) называется вектор с координатами ( а₁+ а₂ + а₃; в₁ + в₂ + в₃ );

б) суммой векторов а и в с координатами ( а_1, а_2, а₃) и ( в₁, в₂, в₃₎называется вектор с координатами (а₁₊ в₁; а₂+ в₂; а₃+ в₃);

в) суммой векторов а и в с координатами (а_1, а₂, а₃ ) и ( в₁, в₂, в₃) называется вектор с координатами (а₁+ а ₂+ а₃) + ( в ₁ + в ₂ + в₃)

6. Определение разности векторов

а) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂, а₃) и вектора в с координатами (в ₁, в₂, в₃) называется вектор с с координатами (с₁; с₂, с₃) который с вектором в дает вектор а;

б) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂, а₃ ) и в с координатами(в ₁, в₂, в₃) называется вектор сс координатами (а₁+в₁, а₂+в₂, а₃ +в₃)

в) разностью векторов а с координатами (а_1, а₂, а₃ ) и вектора в с координатами (в ₁, в₂, в₃) называется вектор в с координатами (с₁; с₂, с₃) который в сумме с вектором в, дает вектор а.

7. Какие векторы называются коллинеарными?

а) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой;

б) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.. Они направлены либо одинаково, либо противоположно;

в) два вектора называются коллинеарными, если они лежат на перпендикулярных прямых

8. Косинус угла наклона вектора АВ к положительному направлению оси Ox, где A(-1, 3) и B(7, -3) равен

а) 4/5

б) -4/5

с) 5/4

9. расстояние d между точками M(x₁; у₁) и N(x₂; y₂) выражается формулой

а) d = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²

б)d = (x₁+x₂)²-(y₁+y₂)²-(z₁-z₂)²

в) d² = (x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²+(z₁-z₂)²

Задача №1. Говорят, что колёса поездов вращаются неравномерно, т. е. есть точки на колёсах которые перемещаются не вперёд, а назад.

Решение:
Дело опять-таки происходит так, словно верхняя часть колеса быстрее движется, чем нижняя. В чем же разгадка этого странного явления? Да просто в том, что верхняя часть катящегося колеса действительно движется быстрее, чем нижняя. Факт представляется с первого взгляда невероятным, а между тем простое рассуждение убедит нас в этом.
Каждая точка катящегося колеса совершает сразу два движения: обращается вокруг оси и в то же время подвигается вперед вместе с этой осью. Происходит в результате сложение двух движений: вращательного и поступательного. Скорость вращательного движения направлена по часовой стрелке и перпендикулярно радиусу колеса. Скорость поступательного движения направлена в сторону перемещения колеса.
Результат для верхней и нижней частей колеса получается разный. Вверху вращательное движение колеса прибавляется к поступательному, так как оба движения направлены в одну и ту же сторону. Внизу же вращательное движение направлено в обратную сторону и, следовательно, отнимается от поступательного. Вот почему верхние части колеса перемещаются относительно неподвижного наблюдателя быстрее, чем нижние.

Задача 2. Вычислить работу, совершаемую силой F = (1; 2; 3), при прямолинейном перемещении материальной точки из положения В (1; 0; 0) в положение С (10; 1; 2).

Мы знаем, что физический смысл скалярного произведения векторов, есть ни что иное, как работа А совершенная силой F^> по перемещению из одной точки пространства в другую (из В в С)

А = | F^> | • | BC^> | cos (F^>; BC^>), т. е. A = F^> • BC^> - скалярному произведению

В нашем случае F^>= (1; 2; 3), BC^> = (9; 1; 2), поэтому по формуле скалярного произведения получаем:

А = 1•9 + 2•1 + 3•2 = 17 (ед. работы).

Таким образом, чтобы найти работу постоянной силы F^> при перемещении материальной точки вдоль отрезка ВС^>, достаточно вычислить скалярное произведение вектора силы F^> и вектора перемещения BC^>.

Домашнее задание:

Задача. Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках A(2, -3), B(1, 1), C(-6, 5).