Дифференцируемые функции. Повторение

Дифференцируемые функции. Повторение

1. Производная функции

Функция имеет производную в точке , если существует предел:

Этот предел называется производной функции в точке и обозначается . Если, кроме этого, значение – конечное, то функция называется дифференцируемой в точке

Замечания:

Если предел (1) или (2) существует и бесконечен или не существует, то функция не дифференцируется в точке

Теорема :

Если функция дифференцируется в данной точке, то она непрерывна в этой точке

Предел:

(если существует) конечный или бесконечный, называется левой (3) или правой (4) производной функции в точке . Обозначают и

Функция называется дифференцируемой слева или справа в точке , если предел (3) или (4) существует и конечен.

Теорема :

Функция дифференцируема в точке если только она дифференцируема слева и справа в точке и

В этом случае:

2. Дифференциал функции

Линейная функция , называется дифференциалом функции в точке и обозначается

3. Геометрический смысл производной и дифференцируемой функции

Уравнение касательной:

4. Правила вычисления производных и дифференциалов

Производная 1. 2. , c–постоянная 3. 4. 5. Производная сложной функции: Дифференциал 1. 2. , c–постоянная 3. 4. 5. Дифференциал сложной функции:

5. Таблица производных