Обусловленность матриц и точность решения систем линейных уравнений

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Мозырский государственный педагогический университет

имени И. П. Шамякина»

Обусловленность матриц и точность решения систем линейных уравнений

Выполнила:

студентка 2 курса 2 группыфизико-математического
факультета

Пиляк Ксения Юрьевна

Мозырь 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ.. 3

ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ.. 4

НОРМЫ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ

Нормой вектора называется поставленное ему в соответствие неотрицательное число . При этом эта норма удовлетворяет следующим условиям:

1) , при этом тогда и только тогда, когда .

2) , где , .

3) .

В вычислительной математике наиболее широко употребляются три нормы:

– Евклидова норма.

Между этими нормами справедливы соотношения

1) , где – размерность пространства.

2) .

3) .

Нормой квадратной матрицы A называется поставленное ей в соответствие неотрицательное число , для которого справедливы следующие свойства:

1) тогда и только тогда, когда .

2) .

3) .

4) .

Наиболее употребляются в вычислительной математике следующие нормы матриц:

, где – максимальная сумма модулей элементов по столбцам.

, где – максимальная сумма модулей элементов по строкам.

– Евклидова норма.

Нормы матриц и векторов называются согласованными, если они удовлетворяют условию .

Если – точка верхней грани , то норма называется подчиненной норме вектора .

ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦ

Мы решаем систему вида AX = B в предположении, что матрица коэффициентов А – квадратная и невырожденная, в этом случае рассматриваемая СЛАУ имеет единственное решение.

Вырожденной называется матрица, не имеющая обратной.

На практике встречаются матрицы (и соответствующие системы уравнений), «близкие» к вырожденным. Пусть матрица А «почти» вырожденная. Учитывая, что X = A–1B, можно ожидать, что малые изменения в А и B вызовут очень большие изменения в решении X.

Рассмотрим погрешности решения СЛАУ в этом случае. Пусть «точная» система уравнений имеет вид

А* X* =B*.

Предположим, что вследствие округления и/или неточных данных матрица системы A* и вектор B* заменяются на «приближенные» матрицу А и вектор B. Соответствующая система уравнений запишется как

АX = B.

Погрешности матрицы А, вектора B и ошибку решения будем оценивать:

Здесь нормы векторов и матрицы должны быть согласованы между собой.

Можно показать, что справедливо следующее соотношение:

или

Из (1) следует, что:

1) ошибка решения возрастает с ростом погрешностей и ;

2) ошибка решения в раз больше ошибки исходных данных .

Величина играет важную роль при анализе погрешностей решения СЛАУ, поэтому она получила специальное название – число обусловленности матрицы А:

Обусловленность оценивает близость матрицы коэффициентов А к вырожденной.

Число обусловленности является количественной оценкой обусловленности.

Если число обусловленности матрицы велико, то необходимому изменению левой или правой части будет соответствовать относительно большое изменение решения.

Причина появления больших погрешностей при решении плохо обусловленных систем хорошо иллюстрируется на примере СЛАУ с двумя неизвестными:

(а)(б)(в)

Рисунок 1 – Обусловленность матриц

Рисунок (а) соответствует случаю хорошо обусловленной системы уравнений. На рис. (в) представлен случай системы с вырожденной матрицей А (det(A)=0), здесь прямые, отвечающие каждому из уравнений, параллельны друг другу (уравнения линейно зависимы). Пример плохо обусловленной системы уравнений показан на рис. (б) – прямые, соответствующие двум уравнениям, почти параллельны.

Штриховые прямые на рис. (а) и (б) отвечают одному из уравнений, в котором немного изменены коэффициенты или правая часть . Как видно, в случае хорошо обусловленной СЛАУ малые возмущения в величинах и приводят к небольшим изменениям решения (точка пересечения прямых смещается незначительно). В случае плохо обусловленной системы уравнений малые изменения в коэффициентах ведут к большим изменениям в решении (точка пересечения прямых смещается сильно).