Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), т.е. для которой справедливо равенство F’(x) = f(x).

Группа: 1 ЛИТ 16. 02. 22

дисциплина: математика

преподаватель: Левченко Н. Г.

Тема урока: «Понятие первообразной. Основное свойство».

План:

1. Изучить новый материал.

2. Сделать конспект.

3. Выписать примеры решения упражнений.

4. Выполнить задание.

1) Новый материал.

Понятие первообразной.

Первообразной для функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), т. е. для которой справедливо равенство F’(x) = f(x).

Термин " первообразная" по-обывательски означает " родоначальница", " родитель", " предок". А сам поиск первообразной – это восстановление исходной функции по известной её производной. Иными словами, это действие, обратное дифференцированию. Сам же этот процесс тоже называется вполне научно – интегрирование.

Запоминаем:

Интегрирование — это математическая операция над функцией (как и дифференцирование).

Интегрирование — операция, обратная дифференцированию.

Первообразная — результат интегрирования.

Основное свойство первообразной.

Основное свойство первообразных.

Если F (x) – первообразная функции f (x), то и функция F (x)+ C, где C –произвольная постоянная, также является первообразной функции f (x) (т. е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x) + С ).

Геометрическая интерпретация.

Графики всех первообразных данной функции f (x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси Оу.

Таблица первообразных:

Функция	k (постоянная)	, n≠ − 1		e^x	a^x	sin x	cos x
Первооб разная	kx + C	+ С		e^x + C	+ C	− cos x + C	sin x + С

Правила нахождения первообразных:

Пусть F(x) и G(x) – первообразные соответственно функций f(x) и g(x). Тогда:

1. F ( x ) ± G ( x ) – первообразная для f ( x ) ± g ( x );

2. Функция F ( x ) – первообразная для функции f ( x );

Для сложной функции:

3. Функция ꞏ F(kx + b)– первообразная для функции

f ( kx + b ).

2) Примеры решения:

№1. Для функции y = f(x) найдите множество всех первообразных. Выполните проверку. f(x) = 2sin x + 3x³

Решение:

f(x) = 2sin x + 3x³

F(x) = − 2cosx + + C

Проверка:

Найдем производную функции F(x).

F׳ (x) = (− 2cos x + + C)׳ = 2sin x + ꞏ 4x³ = 2sin x + 3x³

F’(x) = f(x)

Ответ: F(x) = − 2cosx + + C

№2. Найдите все первообразные функции:

f(x) = 6cos(2x +5).

Решение: F(x) = + С = + С =

= 3sin(2x +5) + С.

Ответ: F(x) = 3sin(2x +5) + С.

№3. Значение первообразной функции F(x) функции

f(x) = 10cosx в точке x = равно − 4. НайдитеF(− ).

Решение. Сначала найдем первообразную

F(x) = 10sinx+ C

Затем подставляя значения точки х, найдем число с

= − 4

C = − 4 − 10

C = − 14

Далее получаем уравнение первообразной в этой точке

F(x) = 10sin x – 14

И находим значение первообразной в другой точке

F(− = 10sin(− ) − 14

F(− = − 19

Ответ: − 19

№4. Для функции f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (0; 5). Найдите F(2).

Решение.

Найдем множество всех первообразных для данной функции.

F(x) = x⁴ – x³ + – 2x + C

Так как в точке х = 0 значение первообразной функции равно 5, то нам необходимо найти такое значение С,

для которого выполняется условие F(0) = 5.

Решим уравнение:

5 = ꞏ 0⁴ – 0³ + – 2ꞏ 0 + C

Из полученного уравнения находим С = 5.

Следовательно, первообразная для функции

f(x) = 5x³ – 3x² + 7x – 2 при заданном условии F(0) = 5

имеет вид: F(x) = x⁴ – x³ + – 2x + 5

Ответ: F(x) = x⁴ – x³ + – 2x + 5

Тогда F(2) = ꞏ 2⁴ – 2³ + – 2ꞏ 2 + 5

F(2) = 27

Ответ: 27

3) Задания:

1. Найти все первообразные функций:

а) f(x) = 3x² – 3; б) f(x) = x⁴ + 3x² + 6x + 5;

в) f(x) = 5cosx + 8sinx; г) f(x) = x⁹ + 6 cosx − 1.

2. Для функции f(x) = 4 – х²найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).