§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка

§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, которое связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y и первую и вторую производные от этой функции:

F (x, y, y', y'') = 0.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция

y = φ (x, C₁, C₂), которая удовлетворяет дифференциальное уравнение при произвольных значениях C₁ и C₂.

Любое частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при определенных значениях C₁ и C₂ и удовлетворяет определенным начальным условиям. Начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка является задание значений функции и ее первой производной в некоторой точке x₀:

Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка подразумевает

нахождение частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Геометрический смысл частного решения — это интегральная кривая, проходящая через точку (x₀, y₀) в данном направлении, то есть, задан угловой коэффициент касательной к интегральной кривой.

§ 8. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три вида ДУ второго порядка, которые можно преобразовать к разным видам ДУ первого порядка, т. е. понизить их порядок. Сведём эти уравнения в таблицу, указав их общий вид, характерные особенности и способы решения (способы понижения степени).

Общий вид ДУ
Характерные особенности	Повторное интегрирование правой части	В ДУ в явном виде отсутствует искомая функция у	В ДУ в явном виде отсутствует независимая переменная х
Замена, приводящая к понижению порядка	-		, где
Вид ДУ после понижения порядка
Пример	Пример 1.	Пример 2.	Пример 3. ,

12 Следующая ⇒