Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом сил

Шифр 530

Задача 7

Расчёт плоской статически неопределимой рамы методом сил

Для рамы (рис. 1) требуется:

а) построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил, раскрыв статическую неопределимость;

б) проверить правильность раскрытия статической неопределимости.

Рис. 1. Заданная схема статически неопределимой рамы

Исходные данные:

Решение

Рис. 2. Расчетная схема статически неопределимой рамы

1. Определяем степень статической неопределимости рамы:

Обозначения контуров и шарниров к первой формуле приведены на рис. 3, а, а обозначения опорных связей, шарниров и дисков ко второй формуле – на рис. 3, б.

Рис. 3. Определение степени статической неопределимости

2. Выбираем основную систему метода сил (ОС). Для этого устраняем две лишние связи (рис. 4).

Рис. 4. Основная система

3. Записываем канонические уравнения метода сил:

4. Вычисляем коэффициенты . Для этого строим в ОС эпюры изгибающих моментов от и заданной нагрузки соответственно (рис. 5), для чего определяем опорные реакции для каждого вида загружения.

Эпюра моментов от внешней нагрузки

Эпюра моментов от единичной силы

Рис. 5. Эпюры изгибающих моментов в основной системе

Вычисление перемещений выполняем, перемножая соответствующие эпюры по правилу Верещагина:

5. Для проверки правильности предыдущих вычислений строим суммарную единичную эпюру (рис. 6).

Вычисляем и :

Вычисляем суммы соответствующих коэффициентов:

Условия выполняются:

Рис. 6. Суммарная единичная эпюра

6. Подставляем найденные значения перемещений в систему канонических уравнений и умножаем всё на :

Решая эту систему, получаем:

7. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов (рис. 7) производим по формуле:

Рис. 7. Эпюры

8. Выполняем деформационную проверку полученного решения. Для этого перемножаем окончательную эпюру на эпюру :

Относительная погрешность:

9. Строим эпюру поперечных сил.

Вычисляем значения поперечных сил на границах участков.

Участки 1-2, 2-3, 3-5 и 5-6, где :

Участок 0-1, где :

Участок 3-4, где :

Эпюра поперечных сил , построенная по найденным значениям, представлена на рис. 8.

Рис. 8. Эпюра поперечных сил

На участках рамы 0-1 и 3-4 имеются поперечные сечения, в которых , поэтому для этих сечений необходимо вычислить экстремальные значения изгибающих моментов. Положение этих сечений найдём, используя дифференциальную зависимость:

где – угол наклона эпюры .

Тогда:

Экстремальные значения изгибающего момента вычислим с помощью интегрального соотношения между М и Q:

Здесь – изгибающий момент в начале (в левом сечении) рассматриваемого участка; – «площадь» эпюры поперечных сил от начала участка до сечения, где .

Тогда:

10. Строим эпюру продольных сил N. Вырезаем узлы рамы 1 и 3и прикладываем в сечениях известные из эпюры Q поперечные силы и неизвестные продольные силы. Направления поперечных сил указываем в соответствии с принятым правилом знаков, а неизвестные продольные покажем «растягивающими» (рис. 9).

Рис. 9. Схемы узлов рамы для определения продольных сил

Из условий равновесия узла 1 получаем:

Из условий равновесия узла 3 получаем:

Эпюра N, построенная по найденным значениям, представлена на рис. 10.

Рис. 10. Эпюра продольных сил N

11. Выполняем статическую проверку всех построенных эпюр.

На рис. 11 показана расчётная схема рамы с отброшенными внешними связями и приложенными вместо них реакциями, значения и направления которых взяты с эпюр М, Q и N в соответствии с правилами знаков внутренних усилий.

Рис. 11. Расчётная схема рамы с отброшенными опорными связями

Составляем уравнения равновесия:

Таким образом, все проверки подтверждают правильность раскрытия статической неопределимости.