Тема: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Уважаемый обучающийся, все работы выполняются в рабочих тетрадях по математике. Работа выполняется синей пастой. Построения выполнять простым карандашом.

Тема: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Цель: изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам; научиться применять полученные знания при решении задач.

Решенные примеры писать не нужно. Они как образец для решения д/з.

1. Записать определения, теорему. Рассмотреть доказательство теоремы.

Аналогично тому, как на плоскости любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, наверняка, в пространстве любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам.

Определение. Если вектор представлен в виде:

где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Запишем теорему. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Докажем эту теорему для некомпланарных векторов .

Получаем:

Т. к. , то

Осталось только доказать, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом.

Допустим, что кроме полученного нами разложения есть ещё одно, в котором коэффициенты разложения равны x₁, y₁, z₁.

Вычтем второе разложение из первого.

В разложении нулевого вектора по трём некомпланарным ненулевым векторам все коэффициенты разложения должны быть равны нулю.

Отсюда соответственно равны коэффициенты:

А это противоречит нашему допущению о том, что коэффициенты второго разложения вектора отличны от коэффициентов первого разложения.

Отсюда получаем, что коэффициенты разложения x, y, z определяются единственным образом. Что и требовалось доказать.

2. Выполним несколько заданий.

№ 1 а

Решение:

а) Пользуясь правилом параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов, нетрудно заметить, что Таким образом мы разложили вектор по данным векторам. Причём каждый коэффициент данного разложения равен единице.