КОРРЕЛЯЦИЯ И РЕГРЕССИЯ

Всем хорошо известна функциональная зависимость между числовыми множествами (рядами). Напомним её определение применительно к числовым рядам.

Между числовыми рядами Х и Y существует функциональная зависимость, если каждому значению величины Х ставится в соответствие единственное, строго определённое значение величины Y: y=f(x).

Функциональная зависимость может задаваться описательно, таблично, графически, аналитически.

Между тем, математический аппарат может быть использован для описания зависимостей, связанных между собой не только функционально, но и статистически, то есть, имеющих тенденцию зависимости, но без её строгой детерминации. Мы ограничимся здесь частным случаем статистической зависимости – корреляционной зависимостью.

Корреляционной называется зависимость между величинами Х и Y, если изменение одной величины влечёт за собой изменение математического ожидания другой величины.

Пример. Пары величин, связанные корреляционной зависимостью:

1. Масса и рост тела человека.

2. Количество внесённых удобрений и урожайность.

3. Верхнее и нижнее артериальное давление.

4. Влажность воздуха и атмосферное давление.

Естественно, что не каждая статистическая зависимость является корреляционной.

Корреляционную зависимость можно описать с помощью уравнения вида:

М(Y_x)=f(x), которое называется уравнением регрессии Y на Х.

Здесь М(Y_x) – условное математическое ожидание величины Y, соответствующее данному значению Х; х – отдельное значение величины Х; f(x) – некоторая функция, наиболее точно описывающая влияние значений ряда X на значения ряда Y. Уравнение регрессии показывает, на сколько будет изменяться математическое ожидание ряда Y при изменении значения варианты ряда X на единицу.

Обратную корреляционную зависимость можно описать уравнением регрессии Х на Y (существует не всегда): M(Х_y)=j(y)

Графики функций регрессии f(x) и j(y) называются линиями регрессии. В зависимости от вида уравнения они могут быть линейными, степенными, показательными и так далее.

Если функции f(x) и j(y) линейны, то уравнения регрессии можно представить в виде: М(Y_x)=Ax+B и М(Х_y)=Сy+D

Линиями регрессии при этом являются прямые линии.

При достаточно большом числе значений величин Х и Y их математические ожидания можно заменить соответствующими средними арифметическими значениями: и

Наличие корреляционной зависимости между изучаемыми параметрами X и Y определяется вычислением коэффициента парной корреляции r_xy:

, где C_xy – корреляционный момент, а σ _x, σ _y – средние квадратические отклонения рядов X и Y.

Основные свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции двух независимых величин равен нулю (то есть, если r_xy=0, то корреляционная зависимость между рядами X и Y отсутствует).

2. Коэффициент корреляции двух величин, связанных линейной функцией, равен ±1 («+», если прямая (возрастающая), а «-», если обратная (убывающая) зависимость).

3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: -1£ r_xy£ 1

4. Корреляционную зависимость различают по величине коэффициента корреляции:

· r_xy> 0 – корреляция прямая, то есть увеличение значений признака Х влечёт за собой увеличение значений признака Y;

· r_xy< 0 – корреляция обратная;

· 0£ ½ r_xy½ £ 0, 4 – слабая;

· 0, 4< ½ r_xy½ £ 0, 7 – средняя;

· 0, 7< ½ r_xy½ £ 1 – тесная.

На практике обычно имеют дело с ограниченным объёмом выборок изучаемых величин Х и Y, получаемых в результате независимых испытаний:

(х₁; у₁); (х₂; у₂); (х₃; у₃); …; (х_n; y_n).

1. Первым этапом статистической обработки результатов с целью определения наличия и вида корреляционной зависимости является составление корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица содержит всю информацию, полученную в результате выборочных наблюдений величин Х и Y.

Для малых выборок (n< 30) одинакового объёма расчётная корреляционная таблица может иметь следующий вид:

i	X	Y	X²	Y²	X∙ Y
	x₁	y₁			x₁∙ y₁
	x₂	y₂			x₂∙ y₂
…	…	…	…	…	…
i	x_i	y_i			x_i∙ y_i
…	…	…	…	…	…
n	x_n	y_n			x_n∙ y_n
(по столбцам)

2. Далее, по исходной таблице вычисляем промежуточные величины (средние арифметические значения, средние квадратические отклонения случайных величин и их корреляционный момент), необходимые для исследования вида зависимости и нахождения функций регрессии.

· Средние арифметические: ; ;

· Дисперсии: ; ;

· Выборочные средние квадратические отклонения: ; ;

· Корреляционный момент (коэффициент ковариации):

3. Проверяя гипотезу существования связи между рядами Х и Y, определяем значение выборочного коэффициента линейной корреляции:

4. По знаку и величине коэффициента корреляции оцениваем наличие, тесноту и характер корреляционной связи.

5. Для оценки достоверности коэффициента корреляции определяют его погрешность: и вычисляют экспериментальное значение коэффициента Стьюдента:

Для того, чтобы убедиться, что коэффициент корреляции, вычисленный по данным выборочного исследования, будет соответствовать размеру связи в генеральной совокупности, необходимо определить по таблице критических значений Стьюдента (табл. 1) значение критерия t_КРИТ для числа степеней свободы f=n-2 и выбранной доверительной вероятности (выбранного уровня значимости α ).

Тогда:

· если t_ЭКСП³ t_КРИТ, то при принятой вероятности делают вывод о значимости коэффициента корреляции;

· если t_ЭКС_П< t_КРИТ, то такой вывод сделать нельзя.

Найденный коэффициент корреляции указывает лишь на направление и тесноту связи между двумя переменными величинами, но не даёт возможности судить о том, как количественно меняются величины одного признака по мере изменения величины другого признака. Ответ на этот вопрос даёт применение метода регрессии.

Регрессия – это функция, позволяющая по величине одного коррелирующего признака определить средние величины другого признака.

С помощью регрессии решается задача: как количественно меняется одна величина при изменении другой величины на единицу.

Функция регрессии может иметь любой вид (линейная, степенная, показательная) и методы регрессионного анализа позволяют отыскать внешний вид этой функции.

Подробнее познакомимся с линейной регрессией.

Между коэффициентом корреляции r_xy, числовыми характеристиками выборок и коэффициентами уравнения линейной регрессии существует определённая связь.

Для уравнения: : и

Имея частные решения уравнений линейной регрессии, можно построить их графики: (рис. 1).

Линии регрессии пересекаются в точке , при этом tga=A.

Рис. 1.

Ориентировочно о силе корреляционной зависимости можно судить по корреляционному полю (рис. 2).

Рис. 2.

Корреляционное поле представляет собой множество точек с координатами (х_i; y_i):

Чем больше разброс точек (рис. 2а), тем слабее зависимость, и наоборот, если точки группируются вдоль некоторой линии (рис. 2б), то зависимость тесная и можно приближённо судить не только о силе, но и даже о виде функции регрессии.