Исследование непрерывности функции в

Исследование непрерывности функции в

заданных точках “ ” и “ ”

Функция считается непрерывной в точке , если пределы слева и справа существуют и равны значению .

Пример

Дана функция ,

исследовать на непрерывность в точках , сделать схематический чертеж.

Решение:

Находим левосторонние и правосторонние пределы при :

(левосторонний предел при , т. е. знаменатель показателя степени и стремится к нулю, в этом случае

следовательно, и .

Правосторонний предел:

(правосторонний предел при и , т. е. показатель степени отрицательный, и выражение под знаком предела можно переписать в виде

где знаменатель стремится к бесконечности).

Таким образом, функция

имеет разрыв в точке .

Рассмотрим эту функцию в окрестности . В этом случае левосторонний и правосторонний пределы равны:

следовательно, в точке , функция непрерывна.

Схематический чертеж (рисунок):

Рисунок

Теоретические вопросы к разделу 2

1. Условия непрерывности функции в точке. Левосторонние и правосторонние пределы.

2. Классификация точек разрыва.

Задание 1 к разделу 2. Задана функция y = f(x) и два значения аргумента х₁ и х₂.

Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, и сделать схематический чертеж.

Задание 2 к разделу 2. Задана функция y = f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.