Условия прочности и жесткости. Пример2

Условия прочности и жесткости

Условие прочности при кручении можно записать, используя формулу для определения максимального касательного напряжения:

, (1)

где – допускаемое напряжение при кручении (чистом сдвиге).

Обычно

Проектировочный расчет состоит в определении диаметра вала. Зная момент сопротивления для круглого сечения

найдем диаметр вала

(2)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая погонные углы закручивания некоторой допускаемой величиной :

, (3)

откуда также можно найти диаметр вала.

Из двух найденных диаметров принимается больший.

Пример1. Подобрать диаметр вала (см. рис. 1), если

Рисунок 1

Выбираем наибольший крутящий момент на валу, используя эпюру (см. рис. 1):

Из формулы (2)

Выбираем

Пример2

Для стального вала круглого поперечного сечения, загруженного в со- ответствии с данными, приведенными в табл. 4. 1, необходимо:

а) построить эпюру крутящих моментов;

б) подобрать диаметр вала из условия прочности и условия жесткости, принять ; = 1 ˚ /м; θ

в) построить эпюру углов поворота поперечных сечений вала.

Т₁=− 60кНм; Т₁₂=0кНм; Т₃=− 15кНм; Т₄=20кНм;

Решение

1. Расчет выполняем для стального вала, находящегося под действием заданных внешних моментов, на схеме моменты представлены в соответствии со знаками в условии.

Разделим вал на участки (в данном случае таких участков три). Применяя метод сечений, определяем крутящие моменты на каждом участке вала:

Рис2

участок I –

;

участок II –

участок III –

;

участок IV

По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (см. рис. 4).

2 Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений, пользуясь формулой

Определим полярные моменты сопротивления для каждого диаметра:

Определим касательные напряжения для каждого участка:

– участок I

;

– участок II

;

– участокIII

;

– участок IV

;

= , следовательно, расчет ведем по II участку.

Из условия прочности определяем диаметры вала

Определим углы закручивания поперечных сечений, используя формулу

Определим полярные моменты инерции для каждого диаметра:

– участок I

– участок II

– участок III

– участок IV

Из условия жесткости определяем диаметр

Так как левая часть неравенства имеет размерность радиан на метр длины (рад/м), а относительный угол закручивания задан в градусах на метр длины, необходимо сделать размерности одинаковыми,

Принимаем d=0, 235м, d₁=0, 47м; d₂=0, 235м; d₃=0, 47м; d₄=0, 235м

Определим углы поворота поперечных сечений, используя формулу

Определим полярные моменты инерции для каждого диаметра:

Определяем углы поворота, начиная с защемленного конца.

Определяем угол поворота сечения К, равный углу закручивания участка КL:

Учитывая, что защемленное сечение вала не поворачивается, эпюру углов поворотов начинаем строить с правого (защемленного) конца вала.

При z = 0 φ = 0

Абсолютный угол поворота сечения А (относительно заделки) равен алгебраической сумме углов закручивания участков:

Пример3

Для распределительного вала (табл. 4. 1), реализующего мощности N₀, ….. N₃кВт, построить эпюры крутящих моментов и определить диаметр каждого из участков вала. Построить эпюру углов закручивания и проверить жесткость конструкции, приняв допускаемый угол закручивания[φ ] ≤ 2°. Данные для расчета указаны в таблице 4. 2. Модуль сдвига д ля стали G=8∙ 10⁴МПа.

№
N₁ кВт
N₂ кВт
N₃кВт
l, мм
ω, 1/c
[τ ], МПа

Решение

Заданный вал передает мощность одному объекту, потребляющему, соответственно, N₂=30 кВт. Необходимая энергия поступает от независимых источников движения мощностью N₁=50кВт; N₃=65 кВт; N₀ кВт. Условие энергетического баланса: N₂= N₁+ N₃ + N₀.

Откуда N₀=N₂– N₁− N₃=30 − 50− 65=− 85 кВт. То есть N₀ направлена в противоположную сторону, то есть это мощность потребляемая.

Определим вращающие моменты на шкивах по формуле.

При этом моменты, поступающие на вал от источников движения, являются движущими, и мы будем считать их положительными. На шкивах, связанных с потребителями, имеем моменты сопротивления, их можно считать отрицательными. Направления приложенных моментов показаны на рис. 4. Определим величины этих моментов:

Строим эпюру внутренних силовых факторов, учитывая, что крутящий момент в любом сечении вала равен сумме внешних вращающих моментов, действующих по одну сторону от сечения: