Вопросы к экзамену по курсу. Теория вероятностей и математическая статистика. для специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

Вопросы к экзамену по курсу

" Теория вероятностей и математическая статистика"

для специальности 010501 «Прикладная математика и информатика»

1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.

2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.

3. Геометрическое определение вероятности. Пример.

4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.

5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.

6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.

7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.

8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.

9. Понятие случайной величины (СВ). Функция распределения СВ и ее свойства.

10. Дискретные СВ. Закон распределения дискретной СВ.

11. Важнейшие дискретные СВ.

12. Непрерывные СВ. Плотность вероятностей и ее свойства.

13. Важнейшие непрерывные СВ.

14. Математическое ожидание (МО) дискретных и непрерывных СВ.

15. Основная теорема о МО. Свойства МО.

16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.

17. Числовые характеристики важнейших СВ.

18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.

19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.

20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.

21. Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.

22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.

23. Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.

24. Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.

25. Теоремы о числовых характеристиках.

26. Некоррелированные СВ. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.

27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.

28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

29. Функции от СВ и их законы распределения.

30. Закон распределения суммы СВ. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.

31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей СВ и связь между ними.

32. Закон больших чисел (ЗБЧ) для последовательностей СВ. Теоремы Маркова и Чебышева.

33. ЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных СВ. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.

34. Характеристическая функция СВ и ее свойства.

35. Характеристические функции важнейших СВ. Устойчивость нормального закона распределения.

36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.

37. Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных СВ. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

38. ЦПТ для независимых разнораспределенных СВ: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.

39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном ЗБЧ.

40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (ГС), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.

41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.

42. Гистограмма и полигон частот.

43. Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.

44. Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.

45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок МО и дисперсии соответственно.

46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример.

47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.

48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ДИ) для МО нормально распределенной ГС (при известной и неизвестной дисперсии).

49. ДИ для дисперсии нормально распределенной ГС (при известном и неизвестном МО).

50. Асимптотические ДИ для МО и дисперсии произвольно распределенной ГС.

51. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.

52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.

53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки гипотезы независимости.

18. 05. 2011г. Коломиец Э. И.