Задачи заочного конкурса.

Уважаемые Коллеги!

Оргкомитет Двадцать первого Турнира Архимеда совместно с редакцией “Математики” (еженедельное приложение к газете «Первое сентября») объявляет конкурс решения задач для учащихся 6 – 7 классов.

Победителей конкурса ждут призы редакции и Оргкомитета Турнира Архимеда. Решения просим выслать до 30 марта 2012 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, ред. приложения “Математика”, с пометкой на конверте “Турнир”. В письмо следует вложить подписанную работу с указанием номера школы и класса, фамилией, именем и отчеством учителя математики, а также вложить конверт с маркой (и c обратным адресом) – в нем будут высланы результаты проверки.

Сайт Турниров Архимеда: www. arhimedes. org

Задачи заочного конкурса.

1 Дана последовательность чисел:

Сформулируйте правило, по которому она составлена. Запишите три следующих числа.

2 Можно ли раскрасить ребра додекаэдра (см. рис. ) в два цвета так, чтобы по ребрам каждого цвета можно было пройти из любой вершины в любую другую?

3 Из иллюминатора самолета мне видны часть острова, часть облака и немного моря. Облако занимает половину пейзажа, видимого из иллюминатора, и скрывает тем самым четверть острова, который поэтому занимает только четверть наблюдаемого пейзажа. Какую долю пейзажа составляет часть моря, скрытая облаком?

4 Вася называет 2011 год «удачным», так как существует натуральное число , что произведение оканчивается ровно на 2011 нулей. Проверьте, не ошибся ли Вася в подсчетах.

5 Наш друг Дмитрий Николаевич большой любитель занимательных задач. Как-то в компании, его спросили, когда у него день рождения. Вот что он ответил: " Мне не более тридцати лет, и родился я в среду не менее 20 лет назад. Была осень. Причем сред, четвергов и пятниц (включая мой день рождения) до конца месяца оставалось девять, а сумма их дат равнялась 207". Поразмыслив, я смог определить дату рождения моего друга. Определите и Вы. Ответ объясните.

6 Магический квадрат. Можно ли таблицу 5´ 5 заполнить числами 0², 1², 2², …, 24² так, чтобы сумма чисел во всех вертикалях и горизонталях была одинаковой. Ответ объясните.

7 Шестнадцать чисел. Существует ли последовательность из 16 целых чисел, у которой сумма любых 7 идущих подряд членов последовательности отрицательна, а сумма любых 11 подряд членов последовательности положительна?

8 Семнадцать чисел (продолжение предыдущей задачи). Тот же вопрос для 17 целых чисел.