Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

1. Промежутки, окресности. Верхняя и нижняя грань числового множества. Точные грани и их свойства.

Интервалы и отрезки - это конечные числовые промежутки. Промежутки бывают следующих типов:

Интервал: строгое неравенство(a< X< b); Отрезок [a; b]; Открытый справа([a; b)) и слева.

: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-ε < x< a+ε Û |x-a| Û (////·////) x Û О_ε(а)

Числовое множество называется ограниченным сверху если все числа данного числового множества меньше некоторого числа В

Точная верхняя грань-найменьшая из всех верхних граней(sup{X}). inf{X}-точная нижняя грань

Свойства точных граней: Теорема:

M=Sup{X} необходимо и достаточно выполнение: 1)x> M=> x не принадлежит X. 2)Для любого С < M есть хотя бы 1 х из Х => C< x< =M

Док-во

1Необходимость. Дано M=Sup{X} Доказать 1, 2. Док-во

1. т. к. M-sup{X}=> 1 из верхних граней, то по определению для х из Х=> х< =М, а значит он не может быть > M => x не из Х

2. Берем С< M. Пусть нету х, удовлетвор. 2му свойству=> для всякого х< =с, а это значит, что С есть М и при этом С< М, а значит М не есть sup{X}, что противоречит условию=> x> c

2. Достаточность. Дано: 1, 2. Доказать: что М=sup{X}. Док-во.

1. Из 1пункта следует, что М есть верхняя грань{X}, (x> M=> х не их Х=> любое х из Х меньше М)

2. Из пункта 2 есть х> с=> с ни есть верхняя грань=> М наименьшая из всех верхних граней.

В2. Абсолютная величина и ее свойства.

Модуль числа x - это найбольшее из {+x и -x}. Так же модулем числа x называется само число x, если x> =0 и –x при x< 0

Свойства

1)|x|> =0 из определения(|x|=max{x, -x})

2)-|x|< =x< =|x|

a)x=0 -0=0=0

б)x< 0 x=-|x| |x|=-x -|x|=x< |x|

в)x> 0 -|x|< x=|x|

3)если a> =0, |x|< =aó -a< =x< =a

x> 0, |x|=x x(> =0)< =a -a(< =0)< =x(> =0) => -a< =x< =a

x< 0, |x|=-x a(< 0)> -x(> 0) x< =a a> =x> =-a

4) |x+y|< =|x|+|y|

-|x|< =x< =|x| |x|=max{x, -x}

-|y|< = y< =|y| |x|=max{x, -x}

-(|x|+|y|)(это -а)< =x+y< =(|x|+|y|)(это а) –max{x, -x}=-|x|

x> =-max{x, -x} |x-y|< =|x|+|y|

5. |x-y|> =||x|-|y||

|x|=|x-y+y|< =|x-y|+|y| |x-y|> =|x|-|y| |y|=|y-x+x|< =|y-x|+|x|=|x-y|+|y| |x-y|> =|y|-|x| |x-y|> =|y|-|x| |x-y|> =max{|x|-|y|, |y|-|x|}

6. |x*y|=|x||y|

3. Определение функции, способы ее задания. Функции четные и нечетные

Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

x
y

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Чётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f(-х)=f(x) при всех х.

Нечётная функция, функция, удовлетворяющая равенству f (-x) = -f (x).

Монотонная функция функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает).

Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xÌ D)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

1) Возрастающая на Х, если для любого х₁; х₂ принадлежащие Х: х₁< x₂Þ f(x₁)< f(x₂)

2) Убывающий на Х, если для любого х₁; х₂ принадлежащие Х: х₁< x₂Þ f(x₁)> f(x₂)

3) Не убывающий на Х, если для любого х₁; х₂ принадлежащие Х: х₁< x₂Þ f(x₁)£ f(x₂)

4 Не возрастающая на Х, если для любого х₁; х₂ принадлежащие Х: х₁< x₂Þ f(x₁)³ f(x₂)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

1) Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется x£ R

2) Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£ х

3) Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А, В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется А£ х£ В, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется |х|£ С

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f(x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у: х = ((у), является обратной по отношению к данной функции у = f(x). Например, х = есть О. ф. по отношению к у = х3.

Определение (обратной функции):

Пусть существует D, E, C, R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:

y=f(g(y)), " yÎ E y=f(g(y)), для любого уÎ Е

x=g(f(x)), " xÎ D x=g(f(x)), для любого хÎ D

Примеры:

1)y=x³ Û x=³Ö y

D=R

E=R

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+, -, *, /, введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

5. y=c где c -постоянная

Сложные:

Y=f(U), где U=j(x), Y=f[j(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[j(x)] называется сложным заданием х.

Пусть задано D, E, G, C, R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g, f.

Пример: Пример

z=sin e^x w=arctgcos e^xx^-^ln^x

y=e^x=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R₊

G=[-1; 1]

4. Предел функции и его единственность. Бесконечно малые и их свойства. Связь предела с бесконечно малыми.

Число А называется пределом ф-ции f(x) при х®x₀, если для каждого, как угодно малого на период заданного числа e. -e> 0, найдется такое как угодно малое на период заданного d> 0, что будут выполняться неравенства: Если 0< |x-x₀|< d, то |f(x)-A|< e и х! =х₀

Основные св-ва:
1. Если величина имеет предел, то только 1.

Док-во

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹ b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e = (b-a)/2, т. к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

2. limC=C, где С- постоянная величина

Св-ва б. м. в.:

Если a-б. м. в., то lima=0

Это по определению(d(x) –называется БМВ в точке х₀, если lin d(x)=0 при x-> x₀)

1. Если и - бесконечно малые при , то сумма - тоже бесконечно малая при ;

2. Если - бесконечно малая и - ограниченная при , то произведение есть бесконечно малая при .

3. Если и - бесконечно малые при , то произведение - тоже бесконечно малая при ;

Доказательство

1. В качестве выберем такое число , что

Обозначив , получаем:

По свойству модулей: , обозначив получаем: . Таким образом, , т. е. - бесконечно малая.

2. - ограничена при , т. е. .

Тогда в качестве можно выбрать число . Тогда .

Обозначив за получаем: . Значит, , т. е. - бесконечно малая при .

3. Докажем лемму. Если - бесконечно малая при , то она ограничена при . (наоборот - неверно! ). Доказательство: возьмем и получим, что . Таким образом, при - бесконечно малые. По доказанной лемме - ограничена. Следовательно, по свойству 2 данной теоремы - бесконечно малая.

Cвязь предела и БМВ

Теорема Для того, чтобы f(x) имела конечный предел в х₀. Необходимо и достаточно, чтобы она была представима: f(x)= a+A(x), где A(х)- БМВ в х₀ a=Lim f(x) при x-> x₀

Док-во: 1. Необходимость. есть хотябы 1 a=Lim f(x) x-> 0 Доказать: f(x)=a+A(x)Док-во.

Обозначим A(X)=f(x)-a и любое E> 0 есть хотябы 1 D> 0 тогда, любое х: 0< |x-x₀|< D => |f(x)-a|=A(x)< E чтд

2. Достаточность. Есть f(x)=a+A(x) Доказать a=LimF(x) при х-> x₀Док-во

| любое E> 0 есть хотябы 1 D> 0 тогда, любое х: 0< |x-x₀|< D => |f(x)-a|=|A(x)|< E чтд

В5. Неограниченные величины. Бесконечно большие и их связь с БМВ.

Неограниченной величиной(НВ)-g(x) неограниченна в х₀, если любое М> 0 и любое D> 0 есть хотябы 1 х: 0< |x-x₀|< D => |g(x)|> M

График- правая ветвь параболы.

g(x) -, бесконечно большая в х₀, если Lim(g(x))=беск x-> x₀

Всякая ББВ величина неограничена

Св-ва:

-величина обратная б. б. в. явл. б. м. в. (1/¥ =0; 1/0=¥ )

Док-во Пусть f(x) ББВ, то, если любое E> 0 и любое D> 0 есть хотябы 1 х: 0< |x-x₀|< E => f(x) > 1/E=> |1/f(x)|< E

-сумма б. б. в. (с одинаковым знаком) есть б. б. в.

-произведение 2х б. м. величин=б. м. в.

-частное от деления 2х б. б. в = неопределенность

В6. Предел последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Предел монотонной функции.

Последовательность- функция целочисленного аргумента.

Предел последовательности:

y=f(Un), где U₁, U₂,... U_n, а U_n=n/(n²+1)

Предел: число а называется пределом переменной x_n, если для каждого “+” как угодно малого числа e(эпсилон) существует такой номер N, что при n> N разность |x_n-a|< e

limx_n=a

n®¥ -e< X_n-a< e a-e< X_n< a+e

Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она имеет предел.

Последовательность монотонно возрастает, если последующий член> предыдущего (x_n₊₁> x_n)

Последовательность ограничена сверху, если существует такое М, что x_n< =M.

Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел.

Lim a_n=a n-> беск возмем m и M любое n => m< =a_n< =M любое E> 0 есть хоть 1 N любое n> N=> |a_n-a|< E=> -E< a_n-a< E=> a-E< a_n< a+E m₁-min из послед a_n M-max из послед a_n m=min{m₁, a-E} M=max{M₁, a+E} m< a_n< M чтд

Функция монотонно возрастающей, если из -строго монотонно возрастающей, если из - монотонно убывающей, если из -строго монотонно убывающей, если из . Докажем одну из возможных здесь теорем. Теорема. Если монотонно возрастает и ограниченна сверху при , то существует конечный предел слева . Доказательство. Рассмотрим множество значений функции при . По условию теоремы, это множество ограниченно сверху, т. е. . По теореме о существовании супремума(1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу; 2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то . ) отсюда следует, что существует конечный . Покажем, что . По свойствам супремума 1. 2. Обозначим . Возьмем любое x, для которого , но . Как видно из рисунка, из этого следует, что . Но тогда, в силу монотонности а) б) Поэтому имеем Выбрасывая лишнее получим, что или, что то же самое, . По определению предела функции это означает, что .

В7. Предельный переход в равенствах в неравенства. Теорема о “двух милиционерах. ”

Теорема. Пусть во всех точках некого мн-ва f(x)< =g(x) и при этом есть конечные пределы, тогда a< b…. f(x)< =g(x) Lim f(x)=a Lim g(x)=b при x-> x₀получаем a< =b.

Док-во. Пусть a> b и E=(a-b)/4 есть хоть1 D₁ и любой х: |x-x₀|-D₁=> |f(x)-a|< E=(a-b)/4=> -(a-b)/4< f(x)-a< (a-b)/4 (3a+b)/4< f(x)< (5a-b)/4

есть хоть1 D₂ и любой х: 0< |x-x₀|< D₁=> |g(x)-b|< E=(a-b)/4

Теорема о “двух милиционерах”: Пусть нам заданы 3 функции на определенном промежутке, связанные следующим образом f(x)< =g(x)< =h(x) и еще выполняется Lim f(x)=a Lim h(x)=a при x-> x_0,то получаем, что Lim g(x)=a при x-> x₀.

Док-во: берем E₁ и D₁ для h хоть одно E> 0 любое D> 0 любое х: 0< |x-x₀|< D => |f(x)-a|< D и |h(x)-a| < D => -D< f(x)-a< D -D< h(x)-a< D a-D< f(x)< D+a a-D< h(x)< D+a a-D< f(x)< =g(x)< =h(x)< a+D a-D< g(x)< a+D => |g(x)-a|< E

В8. Первый замечательный предел.

Терема lim (sin(x)/x)=1

^x^®⁰

Доказательство:

S_∆_OMN=1/2 sin(x)

S_сек_OMN=1/2(x)

S_∆_OKN=1/2 tg(x)

S_∆_OMN< S_сек_OMN< S_∆_OKN

1/2sin(x)< 1/2(x)< tg(x)

sin(x)< x< tg(x)

1< x/sin(x)< 1/cos(x)

lim (1-cos(1/n))=0

ⁿ^®⁺^¥

lim (1-cos(x))=0 Þ lim (cos(x))=1

^x^®⁰^x^®⁰

lim (x/sin(x))=0

^x^®⁰

x> 0 lim (x/sin(x))=1

^x^®⁰

lim(1/(x/sin(x)))= lim(sin(x)/x)=1 что и требовалось доказать

^x^®⁰^x^®⁰

В8. Первый замечательный передел

Первым замечательным пределом называется предел

Теорема 2. 14 Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2. 1 двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис. 2. 27. Тригонометрический круг

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме " о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему " о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2. 3)

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2. 4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы

В9. Второй замечательный предел

Теорема lim(1+1/x)^x=e

^x^®⁺^¥

Доказательство: Пусть n – целая часть х – n=[x] n£ x< n+1

[1+1/(n+1)]ⁿ£ (1+1/x)^x£ (1+1/n)ⁿ⁺¹

Если x®+¥, то n®+¥

[1+1/(n+1)]ⁿ⁺¹1/[1+1/(n+1)]£ (1+1/x)^x£ (1+1/n)ⁿ(1+1/n) Þ lim(1+1/x)^x=e

^x^®⁺^¥

В10. Пределы, связанные со вторым замечательным пределом.

В11. Арифиметические операции над переменными, имеющими предел. Неопределенные случаи.

В12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Арифметические операции над непрерывными функциями

Определение: функция f(x) непрерывна, если: 1)она определена в х₀ и некоторой ее окресности. 2. Lim f(x)=f(x) при x-> x₀

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. в качестве примера y=x².

Арифметические опрерации: f(x)+-/*g(x) если функции непрерывны в х₀

В13. Непрерывность сложной функции. Непрерывность основных элементарных и принадлежащих классу элеменетарных функции.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=j(t). Тогда комбинация y=f(j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x, x=sin(t) => y= e^sin^(t)

Целая и дробная рациональные функции. Непрерывность f(x)=const и f(x)=x непосредственно ясна. На основании теоремы о произведении непрерывных функций вытекает непрерывность любого одночленного выражения ax^m, по теореме о сумме непрерывных функций - непрерывность многочлена a₀xⁿ+ a₁x_n-1+... +a_n-1+ a_n. Непрерывность данных функций имеет место на всем интервале . Частное двух многочленов непрерывно всюду, кроме точек b₀x^m+ b₁x^m-1+... + b_m-1x + b_m = 0 (в этих точках - либо разрыв 2-го рода, либо устранимый разрыв).

Показательная функция y=a^x(a> 1) монотонно возрастает на всем интервале . Ее значения заполняют весь интервал . Из существования логарифма следует непрерывность данной функции.

Логарифмическая функция . Рассмотрим случай a> 1. Эта функция возрастает при , и принимает любое значение из . Отсюда следует ее непрерывность.

Степенная функция . При возрастании x от 0 до возрастает или убывает на интервале . Следовательно, данная функция непрерывна.

Тригонометрические функции , , , , , . Остановимся на функции . Ее непрерывность на отрезке вытекает из ее монотонности, а также из факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает все значения от -1 до 1. То же относится к любому промежутку . Следовательно, функция непрерывна для всех значений x. Аналогично - для функции . По свойствам непрерывных функций вытекает непрерывность функций . Исключение для первых двух функций - значения x вида , при которых , для других двух - значения вида , при которых .

Обратные тригонометрические функции , , , . Первые две непрерывны на , остальные - на

В14. Сравнение и порядок бесконечно малых. Эквиваленты бесконечно малых. Основные примеры

Сравнение бесконечно малых

Определение 2. 16 Пусть фиксирована некоторая база и на некотором её окончании заданы две функции и , бесконечно малые при базе . Предположим также, что при всех . Пусть существует

Если , то бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что и . Этот факт обозначается так:

Если же , то имеет больший порядок малости, чем . Это обозначается так:

Заметим, что если , то для всех из некоторого окончания базы будет выполнено неравенство . Это сразу следует из того, что

Предложение 2. 2 Если при базе бесконечно малая имеет тот же порядок малости, что , то и имеет тот же порядок малости, что , то есть

(S)

Если две бесконечно малых и одного порядка малости, и две бесконечно малых и тоже одного порядка малости при базе , то две величины и также имеют один и тот же порядок малости при базе , то есть

(T)

Кроме того, бесконечно малая величина имеет тот же порядок малости, что она же сама:

(R)

Доказательство. Поскольку то , откуда следует первое из доказываемых утверждений.

Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств

где

по условию предложения.

Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение , заданное в множестве бесконечно малых при данной базе величин , является рефлексивным, транзитивным и симметричным.

Рефлексивность какого-либо отношения , заданного в некотором множестве объектов , означает, что выполнено свойство
(R): ,
транзитивность -- что выполнено свойство
(T): ,
а симметричность -- что выполнено свойство
(S): .

Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом попадают все объекты , для которых .

Поэтому все бесконечно малые при данной базе величины разбиваются на классы по отношению , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

Пример 2. 31 При базе величины и , где и , , имеют один и тот же порядок малости (так как, очевидно, их отношение постоянно и его предел постоянно и его предел равен . Например, при величины и имеют один и тот же порядок малости.

При базе величина имеет больший порядок малости, чем , при :

так как . Если степени и определены и при , то аналогичное утверждение верно и для двусторонней базы . Например, при величина -- большего порядка малости, чем . При величина -- большего порядка малости, чем , а -- величина большего порядка малости, чем .

Пример 2. 34 Поскольку, как мы видели в примерах выше, и , то -- величина большего порядка малости, чем .

Определение 2. 17 Пусть и -- бесконечно малые при базе и

Тогда бесконечно малая называется эквивалентной бесконечно малой при базе . Это обозначается следующим образом:

Очевидно, что если величина эквивалентна величине , то они имеют один и тот же порядок малости (так как при этом ). Кроме того, свойство двух бесконечно малых величин быть эквивалентными, то есть отношение , (так же, как и отношение ) рефлексивно, транзитивно и симметрично. А именно, имеет место

Предложение 2. 4 Если при базе бесконечно малая эквивалентна бесконечно малой , то и эквивалентна :

(S )

Если две бесконечно малых и эквивалентны, и две бесконечно малых и тоже эквивалентны при базе , то две величины и также эквивалентны при базе :

(T )

Кроме того, величина эквивалентна себе самой:

(R )

Доказательствоповторяет доказательство предложения 2. 2. Нужно только учесть, что .

Итак, отношение эквивалентности обладает свойствами симметричности (S ), транзитивности (T ) и рефлексивности (R ) и, следовательно, разбивает множество всех бесконечно малых при данной базе величин на классы эквивалентных между собой бесконечно малых. Эти классы более мелкие, чем классы бесконечно малых величин одного порядка малости, на которые то же самое множество бесконечно малых разбивается отношением .

Пример 2. 35 Согласно первому замечательному пределу, Это означает, что

Кроме того, в примере 2. 20 мы показали, что Это означает, что

Польза для вычисления пределов от использования эквивалентности бесконечно малых, а также от бесконечно малых большего порядка выражается следующими утверждениями.

Предложение 2. 5 Пусть существует предел где и -- бесконечно малые при базе . Пусть также и . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида можно заменять на эквивалентные им бесконечно малые: величина предела от этого не изменится.

Доказательство. Для доказательства напишем такое равенство:

и заметим, что эквивалентность величин и , и означает, что первый и последний пределы в правой части этой формулы равны 1.

Совершенно так же доказывается уточнение доказанного только что предложения. Это уточнение означает, что заменять эквивалентными можно не только числитель или знаменатель целиком, но и любой бесконечно малый множитель в числителе или знаменателе:

Предложение 2. 6 Пусть , и существует предел

Тогда и можно заменить на эквивалентные, и значение предела не изменится, то есть

Предложение 2. 7 Пусть , и существует предел . Тогда существует предел

то есть бесконечно малые большего порядка можно отбрасывать как в числителе, так и в знаменателе неопределённости вида величина предела от этого не изменится.

Доказательство. Согласно предложению 2. 5, достаточно доказать, что если , то . Но это следует из такой цепочки равенств:

Пример 2. 36 Вычислим предел

Для этого заметим, что, как мы проверяли выше, -- величина большего порядка малости, чем . Аналогично проверяется, что -- величина большего порядка малости, чем . Поскольку слагаемые большего порядка малости можно отбросить, то

Далее, поскольку , очевидно, эквивалентен (согласно первому замечательному пределу), а эквивалентен , то последний предел можно упростить, заменив бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные им, а затем сократить на :

При вычислении пределов часто бывают полезны также следующие два утверждения.

Предложение 2. 8 Пусть и . Тогда:
1)
и
2) при любом (в случае, если степень определена только при , нужно потребовать, чтобы выполнялось неравенство .

(Заметим, что второе утверждение не следует из первого, поскольку -- не обязательно целое число. )

Доказательство. Первое утверждение означает, согласно определению эквивалентности, что

если известно, что

Но это сразу следует из теоремы о пределе произведения ( теорема 2. 9).

Второе утверждение означает, что

если известно, что

Это следует из того, что степенная функция непрерывна при любом , если . Как отмечалось выше, для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предела:

В случае степенной функции , сделав замену переменного и связанную с ней замену базы, мы получим, что

Беря , получаем, что

что и требовалось доказать.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо .

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) ( ). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

) .

В15. Сохранение знака непрерывной функции. Понятие равномерной непрерывности.

Напомним, что непрерывность функции в точке означает, что , то есть

Тем самым непрерывность функции на интервале или отрезке означает, что

При этом мы имеем право выбирать число в зависимости от и, главное, от точки .

Предположим теперь, что число можно выбрать общим для всех (но, конечно, зависящим от ). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке выполнено равномерно по .

Дадим теперь такое

Определение 3. 5 Пусть -- некоторая функция и . Функция равномерно непрерывна на , если

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

Пример 3. 15 Рассмотрим функцию и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси . Фиксируем число и положим . Выберем теперь любые две точки и , такие что , и покажем, что тогда . Действительно,

так как, во-первых, при всех и и, во-вторых, при всех (у нас ). Таким образом. равномерная непрерывность функции доказана.

Лучше изучить условие равномерности по мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Пример 3. 16 Пусть функция рассматривается на интервале . Если фиксирована точка , то для заданного мы можем выбрать так, что при всех таких, что ; для нахождения нужно решить неравенство относительно (напомним, что точка фиксирована):

Из чисел и выберем минимальное:

Тогда при будет . Проанализируем, однако, зависимость от : при , приближающемся к 0, значения будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении ), что хорошо видно на следующем чертеже:

Рис. 3. 25. Изменение в зависимости от положения точки

При приближении точки к началу координат нам приходится по одному и тому же выбирать всё меньшие -окрестности точки , чтобы обеспечить выполнение неравенства . Выбрать общим для всех , очевидно, невозможно: при заданном какое бы фиксированное число ни было взято, мы можем поместить точку так близко от 0, что значения и будут отличаться друг от друга больше, чем на , хотя . Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале .

Теорема 3. 10 Пусть и функция непрерывна на . Тогда равномерно непрерывна на .

Доказательство этой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок является компактом⁹. Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М. -Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.

В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3. 8, а именно,

Следствие 3. 1 Любая функция , непрерывная на замкнутом отрезке , ограничена на (то есть существует такое число , что при всех ).

Приведём это доказательство (хотя теорема 3. 8 была ранее доказана другим способом):

Доказательство. Фиксируем какое-либо число , например , и выберем такое, что при всех , для которых , будет . Разобьём на отрезки длины :

(мы положили ; ¹⁰ длина последнего отрезка может оказаться меньше ). Выберем в качестве середину каждого из отрезков:

Тогда для каждого выполняется неравенство и, следовательно, . Это неравенство эквивалентно такому: , или . Поскольку точек конечное число (а именно, ), то мы можем взять минимальное из чисел , , и максимальное из чисел , :

Тогда для любого верно неравенство , и осталось взять . При этом для любого будет , что означает ограниченность функции на .

Теорема кантора Если функция непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].