Типовой расчёт № 4. Интегрирование.

Типовой расчёт № 4

Интегрирование.

Образец решения

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. .

Решение. .

2. 2. .

Решение.

2. 3.

Решение. .

Задание 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

а)

б)

Решение:

а)

- интеграл расходится.

б) является точкой разрыва подынтегральной функции, поэтому:

- интеграл сходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: и ;

Решение. Найдем координаты точек пересечения линий:

; ; .

;

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: , вокруг оси .

Решение. Используем формулу для нахождения объёма тел вращения: .

В условиях нашей задачи , , .

Задание 6. Вычислить: длину дуги кривой:

В зависимости от способа задания уравнения кривой существуют следующие формулы нахождения длины дуги кривой.

§ Для кривой, заданной в декартовых координатах уравнением длина дуги находится по формуле ( 1 );

§ Для кривой, заданной параметрически уравнениями длина дуги находится по формуле (2);

§ Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением длина дуги находится по формуле ( 3 ).

В нашем случае кривая задана параметрически, поэтому для вычисления её длины мы применим формулу ( 2 ).

;

Вариант № 1.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: от точки с абсциссой до точки .

Вариант № 2.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой в пределах от до .

Вариант № 3.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения её с .

Вариант № 4.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от до .

Вариант № 5.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

Вариант № 6.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: , отсеченной осью .

Вариант № 7.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 8.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 9.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 10.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 11.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки .

Вариант № 12.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 13.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 14.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой

Вариант № 15.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой .

Вариант № 16.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: от точки с абсциссой до точки .

Вариант № 17

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой в пределах от до .

Вариант № 18.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения её с .

Вариант № 19.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от до .

Вариант № 20

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки .

Вариант № 21.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: , отсеченной осью .

Вариант № 22.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 23.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 24.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 25.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 26.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки .

Вариант № 27.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы: 2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 28.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой: .

Вариант № 29.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой .

Вариант № 30.

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2. 1. ; 2. 2. ; 2. 3. .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится: .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: .

Задание 6. Вычислить длину дуги кривой .