Задача 1. Задача 2. Задача 3. Задача 4. Задача 5. Задача 6. Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где .(Формула Бернулли)

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Мартиросовой Юлии Александровны

Зачетная книжка №ХХХХХХХХ

ФТТС

курс

Группа №5

2014 г.

Задача 1

Необходимо 3 контейнера разместить в 2 складах. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

В данной задаче я использовала комбинацию - сочетание без повторений.

Сочетаниями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. Эти соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, порядок следования элементов здесь не учитывается.

Число сочетаний из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

Я использую сочетание без повторений т. к. :

1- Контейнера в комбинациях участвуют по одному разу и не повторяются

2- В каждой новой комбинации состав контейнеров в складах меняется

3- Порядок размещения контейнеров в складах не важен(т. е., например, комбинации 123 и 321 считаются одинаковыми)

Таким образом, количество способов размещения 3 контейнеров в 2 складах:

= = 3.

Задача 2

В ящике находится 9 деталей. Из них 3 бракованных. Наугад из ящика взяли 4 детали. Какова вероятность того, что:

А) все взятые детали окажутся качественными?

Б) ровно 3 детали окажутся качественными?

В) менее 2 деталей окажутся качественными?

Решение

Вероятность (Р) - это отношение числа благоприятных исходов(m) ко всем возможным исходам(n).

Р=

А) Поскольку для нас благоприятный исход - все 4 взятые детали качественные (всего в ящике 6 качественных деталей), а все возможные исходы – 4 любые детали взятые из 9, то вычислим вероятность, используя сочетания (т. к. нам не важен порядок в комбинациях из деталей):

Р(А)= = = = = 0. 1190476

Б) Благоприятный исход – ровно 3 из взятых 4 деталей качественные (всего качественных 6), соответственно 1 деталь бракованная (всего бракованных 3). Все возможные исходы - 4 любые детали взятые из 9. Вероятность вычислим используя сочетания и правило умножения(т. к. из 4 выбранных деталей 3 качественные И (! ) 1 бракованная).

Правило умножения (основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент ) можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент ) можно выбрать способами, то оба объекта ( и ) в указанном порядке можно выбрать способами.

Р(Б)= = = = = 0. 4761904

В) Благоприятный исход – 1 деталь будет качественной и 3 бракованные. Все возможные исходы - 4 любые детали взятые из 9. Вероятность вычислим используя сочетания и правило умножения(т. к. из 4 выбранных деталей 1 качественная И (! ) 3 бракованные):

Р(В)= = = = = 0. 047619

Задача 3

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры и набрал их наугад. Найти вероятность того, что он дозвонился, если:

А) он знает, что все цифры не повторяются.

Б) он знает, что все цифры совпадают.

В) он не имел никакой дополнительной информации.

Решение

Всего есть 10 цифр(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

А) Благоприятный исход здесь один – правильный набор последних цифр (m=1). Всех возможных исходов здесь будет столько, сколько можно составить комбинаций из 2 цифр, порядок которых имеет значение, значитвычисляем вероятность с помощью размещений.

Размещениями из элементов по элементов называются соединения, каждое из которых состоит из элементов, взятых из данных элементов. При этом размещения отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле:

, где , .

Вероятность того, что абонент дозвонился, если он знает, что все цифры не повторяются:

P(A)= =

Б) Аналогично условию А), благоприятный исход здесь один – правильный набор последних цифр (m=1). Всех возможных исходов здесь будет столько, сколько можно составить комбинаций из 2 цифр, порядок которых имеет значение, НО которые при этом совпадают, значитвычисляем вероятность с помощью размещений с повторениями:

P(Б)= =

В) Если абонент не имел никакой дополнительной информации, то набранные 2 цифры могут быть ИЛИ разные, ИЛИ одинаковые (события несовместны). Тогда вероятность суммы двух событий равняется сумме двух вероятностей(согласно теореме сложения вероятностей ).

Получаем:

P(A+Б)=Р(А)+Р(Б)=

Задача 4

Курс лекций состоит из 3 тем. Вероятность того, что студент успешно сдаст первую тему равна 0. 12. Вероятность того, что он успешно сдаст каждую последующую тему больше предыдущей на 0. 1. Найти вероятность того, что:

А) студент успешно сдаст все темы;

Б) студент не сдаст ни одной темы;

В) студент успешно сдаст ровно 1 тему;

Г) студент успешно сдаст по крайней мере одну тему;

Д) студент не сдаст по крайней мере одну тему.

Решение

Вероятность того, что студент успешно сдаст 1 тему равна 0. 12; вторую тему – 0. 22; третью тему – 0. 32.

Вероятность того, что студент не сдаст 1 тему равна 0. 88; вторую – 0. 78; третью – 0. 68 (Так как Сумма вероятностей противоположных событий равна единице)

А) Так как наши события независимы (появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет, и появление одного события не изменяет вероятности другого события). Воспользуемся Теоремой умножения для независимых событий

Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A)*P(B).

Р( )= Р( = 0, 12*0, 22*0, 32=0. 008448

Б) Аналогично:

Р( )= Р( = 0, 88*0, 78*0, 68=0. 466752

В) Вероятность что студент успешно сдаст ровно одну тему, означает что он сдаст одну и не сдаст две темы. Тогда вероятность будет равна сумме вероятностей успешной сдачи каждой из трех тем и не сдачи двух других:

Р( )= Р( = 0, 12*0, 78*0, 68=0. 063648

Р( )= Р( = 0, 88*0, 22*0, 68=0. 131648

Р( )= Р( = 0, 88*0, 78*0, 32=0. 219648

Р( )+Р( )+Р( )= 0. 063648+0. 131648+0. 219648=0, 414944

Г) Так как вероятность, что студент успешно сдаст по крайней мере одну тему - событие противоположное тому, что студент не сдаст ни одной темы, то эту вероятность вычислим:

Р( )=1-Р( )=1-0. 466752=0, 533248

Д) Так как вероятность, что студент не сдаст по крайней мере одну тему-событие противоположное тому, что студент успешно сдаст все темы, то эту вероятность вычислим:

Р( )= 1- Р( )= 1-0. 008448=0. 991552

Задача 5

Продукция завода производится в 4 цехах. 1й цех производит 5%; 2й – 15%; 3й – 25%; 4й – 55% от всей продукции завода. 1й цех выпускает бракованное изделие с вероятностью 0. 083, 2й цех – с вероятностью 0. 11, 3й цех – с вероятностью 0. 11, 4й цех – с вероятностью 0. 2.

А) Какова вероятность того, что выбранное наугад из всего объема выпущенной заводом продукции изделие окажется бракованным?

Б) Извлеченное наугад изделие оказалось бракованным. Какова вероятность того, что это изделие было произведено во 2м цеху?

Решение

При решении данной задачи следует применить формулу полной вероятности и формулу Байеса.

Формула полной вероятности:

Пусть событие A может наступить только с одним из nпопарно несовместных событий , которые по отношению кА называются гипотезами. Тогда вероятность событияА можно вычислить по формуле полной вероятности:

Если стало известно, что событиеА произошло, то вероятность можно переоценить, т. е. найти условные вероятности . Эта задача решается по формуле Байеса:

где вычисляется по формуле полной вероятности.

Пусть событие А=

Выдвигаем 4 гипотезы:

= ; Р( =0. 05; Р( =0. 083

= ; Р( =0. 15; Р( =0. 11

= ; Р( =0. 25; Р( =0. 11

= ; Р( =0. 55; Р( =0. 2

А)Вероятность того, что выбранное наугад из всего объема выпущенной заводом продукции изделие окажется бракованным:

Р(А) = 0. 05*0. 082+0. 15*0. 11+0. 25*0. 11+0. 55*0. 2=0. 1581

Б) Вероятность того, что извлеченное наугад бракованное изделие было произведено во 2м цеху:

Р( = =0. 1043643

Задача 6

По цели производится 15 выстрелов. Вероятность попадания в каждом выстреле равна 0, 66. Какова вероятность того, что цель будет поражена ровно 2 раза?

Решение

Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: , где. (Формула Бернулли)

Если цель поражена ровно 2 раза из 15, то:

(2) = = =0. 000037

Задача 7

Вероятность выпуска бракованного изделия составляет 0. 01. Какова вероятность того, что среди 1000 отобранных изделий:

А) не более 12 изделий окажется бракованных?

Б) количество бракованных изделий будет от 12 до 52?

Решение

A) Т. к. в событии, состоящем в том, что отобранные изделия окажутся бракованными: число испытаний (отбор 1000 изделий)-n велико, вероятностьвыпуска бракованного изделия-р мала, а посчитать требуется вероятность, что не более 12 изделий будут бракованные (не менее, чем 0 изделий и не более, чем 12 изделий), то уместно будет использовать Интегральную теорему Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность события А равна (0 < р < 1), то вероятность, что событие А произойдет в серии из n-испытаний не менее, чем k₁ раз и не более k₂ разприближенно равна:

P(k₁; k₂)=Φ (x'') - Φ (x'), где

- функция Лапласа (функция табулирована);

По условию нашей задачи:

n=1000; p=0. 01;

Тогда: q=1-p=1-0. 01=0. 99;

=1000*0. 01=10;

npq=1000*0. 01*0. 99=9, 9.

Таким образом, вероятность того, что не более 12 изделий окажется бракованных равна:

P(A)= k 12) 0, 2389+0, 49931 0, 73821

Б) Т. к. в событии, состоящем в том, что отобранные изделия окажутся бракованными: число испытаний (отбор 1000 изделий)-n велико, вероятность выпуска бракованного изделия-р мала, а посчитать требуется вероятность, что количество бракованных изделий будет от 12 до 52 (не менее, чем 12 изделий и не более, чем 52 изделия), то следует снова использовать Интегральную теорему Лапласа.

По условию нашей задачи:

n=1000; p=0. 01;

Тогда: q=1-p=1-0. 01=0. 99;

=1000*0. 01=10;

npq=1000*0. 01*0. 99=9, 9.

Таким образом, вероятность того, что количество бракованных изделий будет от 12 до 52:

P(Б)= k ) 0, 2389 0, 2611

Задача 8

Случайная величина Х задана законом распределения:

	-2
	2/100	1/10	20/100	4/10	2/10	8/100

Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднеквадратическое отклонение

Решение:

Сначала проверим, равна ли сумма вероятностей всех значений 1:

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑ x_ip_i.

M(Х) = (2/100) × (-2) + (1/10) × (0) + (2/10) × (1) + (4/10) × (2) + (2/10) × (3) + (8/100) × (6) = 2. 04

Дисперсию находим по формуле d = ∑ x²_ip_i - M[x]².

D(X)=(2/100) × (-2)² + (1/10) × (0)² + (2/10) × (1)² + (4/10) × (2)² + (2/10) × (3)² + (8/100) × (6)²- =6. 56-4. 1616=2. 3984

Среднее квадратическое отклонение σ (x).
σ = = = 1. 549

Введем прямоугольную систему координат ХОР и отметим в ней точки:

(-2; 0, 02), (0; 0, 1), (1; 0, 2), (2; 0, 4), (3; 0. 2) и (6; 0, 08). Последовательно соединив их, построим многоугольник распределения.

Задача 9

Монета бросается 3 раза. Записать закон распределения случайной величины Х, равной количеству выпадений решки.

Решение

Возможные значения случайной величины: 0, 1, 2, 3, которые соответствуют количеству возможных выпадений решки (0 из 3 раз, 1 из 3, 2 из 3, 3 из 3). Соответствующие им вероятности:

P(0)=1/8; Р(1)=3/8; Р(2)=3/8; Р(3)=1/8

Закон распрделенияСВ будет иметь вид:

x_i
p_i	1/8	3/8	3/8	1/8

∑ p_i_{= 1/8+3/8+3/8+1/8=1}

Введем прямоугольную систему координат ХОР и отметим в ней точки:

(0; 1/8), (1; 3/8), (2; 3/8), (3; 1/8). Последовательно соединив их, построим многоугольник распределения.

Задача 10

В среднем за сутки на элеватор прибывает 10 грузовиков. Предполагается, что последовательность прибывающих грузовиков образует простейший поток событий. Найти вероятность того, что

А) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет ровно 2 грузовика;

Б) в течение заданных 3 часов на элеватор не прибудет ни одного грузовика;

В) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет не более 2 грузовиков;

Г) в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет больше 2 грузовиков.

Решение

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Простейшим потоком однородных событий называем всякий стационарный ординарный поток без последействия. Одной из характеристик потока случайных событий является его интенсивность – среднее число событий, происходящих в единицу времени.

Пусть простейший поток событий имеет интенсивность λ, тогда вероятность появления k-событий за интервал времени tравен:

Исходя из этой формулы, находим:

А) λ =10/24=0. 417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч); k=2 (грузовиков)

= -вероятность того, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет ровно 2 грузовика.

Б)λ =10/24=0. 417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=3 (ч); k=0 (грузовиков)

= 286 – вероятность, что в течение заданных 3 часов на элеватор не прибудет ни одного грузовика

В) λ =10/24=0. 417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч); k≤ 2 (грузовиков)

= + =0, 659+0, 275+0, 057=0, 991 –вероятность, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет не более 2 грузовиков

Г) λ =10/24=0. 417(среднее количество прибывающих грузовиков за час);

t=1 (ч); k 2 (грузовиков)

=1- =1-0. 991=0, 009 – вероятность, что в течение заданного 1 часа на элеватор прибудет больше 2 грузовиков.