Задания для контрольной работы

2эосо

Задания для контрольной работы

по теории вероятностей и математической статистике

для студентов 2 курса очной формы обучения

направления «экономика»

(номер варианта – порядковый номер студента в списке группы)

III семестр

1. ПРИМЕНЯЯ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ, РЕШИТЕ ЗАДАЧУ:

1.	В магазине имеется 6 сортов шоколадных конфет и 4 сорта карамели. Сколько различных покупок конфет одного сорта можно сделать в этом магазине? Сколько можно сделать различных покупок, содержащих один сорт шоколадных конфет и один сорт карамели?
2.	В 12-тиэгажном доме на первом этаже в лифт садятся 8 человек. Известно, что они выйдут группами в 1, 2, 5 человек на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать?
3.	Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры в числе не должны повторяться? Могут повторяться?
4.	Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальные цветные полосы равной ширины), если имеется материал 5 разных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной (красным - один из имеющихся цветов).
5.	Сколько существует различных положений, в которых могут оказаться 4 переключателя, если каждый из них может быть включен или выключен?
6.	В классе 20 мальчиков и 20 девочек. Для участия в концерте нужно выделить танцующий дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из мальчика и девочки). Сколькими способами это можно сделать при условии, что все умеют петь, танцевать и выполнять гимнастические упражнения?
7.	Сколько различных трехбуквенных " слов" можно составить из букв слова " ромб"?
8.	У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен 300, а ребенку дают не более трех разных имен?
9.	Сколько различных полных обедов можно составить, если в меню имеется 3 первых, 4 вторых к 2 третьих блюда?
10.	В профкоме имеются 3 туристические путевки. Сколькими способами их можно распределить среди 5 желающих сотрудников, если три путевки по трем разным маршрутам: Крым, Алтай, Карпаты?
11.	Сколькими способами можно опустить три письма в 7 почтовых ящиков, если в одни и тот же ящик опускать не более одного письма?
12.	Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя пропущенные цифры в числа 25, 37?
13.	В 12-тиэтажном доме на первом этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2. 3, 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2-м этаже лифт не останавливается?
14.	У одного человека имеется 7 книг по математике, а у другого - 9. Сколькими способами они могут осуществить обмен книгу на книгу?
15.	Сколько различных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2; 3; 4 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?
16.	В отряде 5 разведчиков, 4 связиста, 2 санитара. Сколькими способами можно составить группу из трех человек, чтобы в нее вошли разведчик, связист, санитар?

2. РЕШИТЕ ЗАДАЧУ, ИСПОЛЬЗУЯ КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ:

1.	Ребенок играет с 10 бук нам и разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Какова вероятность того, что при ему чай ном расположении буки и ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?
2.	В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах.
3.	Колода игральных карт (52 листа, 4 масти по 13 карт в каждой) тщательно перетасована. Наудачу берут G карт (без возвращения). Описать пространство элементарных исходов, а также найти вероятность того, что среди этих карт окажется король пик.
4.	Десять рукописей разложены но 30 папкам (на одну рукопись приходится три папки). Найти вероятность того, что в случайно отобранных 6 папках не содержится целиком ни одна рукопись.
5.	Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз (в любом порядке).
6.	Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.
7.	Какова вероятность того, что в четырехзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля две пары одинаковых цифр.
8.	В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?
9.	Колоду карт (З6 листов) наудачу разделяют на две равные пачки. Чему равна вероятность, что в каждой из пачек окажется по два туза.
10.	Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на пяти карточках. Наудачу вынимаются по одной три карточки и кладутся рядом слева направо. Какова вероятность того, что полученное число окажется чётным?
11.	Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных шурупов. С какой вероятностью среди десяти наудачу взятых шурупов нет дефектных?
12.	Чему равна вероятность того, что при двух бросаниях трех игральных костей получится один и тот же результат, если кости различны.
13.	Найти вероятность того, что дни рождения 6 человек придутся в точности на два месяца.
14.	В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам продано семь билетов. Найти вероятность того, что оказались занятыми ровно два купе.
15.	Участник лотереи «спортлото» из 49 наименовании видов спорта называет шесть. Выигрыш определяется тем, сколько наименований он угадал из шести наименований, которые определяются в момент розыгрыша лотереи с помощью специального устройства, реализующего случайный выбор. С какой вероятностью участник угадает пять наименований?
16.	Из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 сначала выбирают одну, а затем из оставшихся четырех вторую. Найти вероятность того, что во второй раз будет выбрана нечётная цифра.

3. РЕШИТЕ ЗАДАЧУ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:

1.	Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из них выпала единица, если на всех грех костях выпали разные числа?
2.	Из колоды карт (З6 листов) последовательно вынуты две карты. Найти вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
3.	В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разного цвета, если известно, что среди них нет синего?
4.	В группе учатся 10 студентов. Для решении задачи у доски любого из них могут вызвать с равной вероятностью один раз в течение занятия. В группе три отличника. Найти вероятность того, что вторую задачу к доске пойдет решать отличник, при условии, что первую задачу тоже решал отличник.
5.	Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой?
6.	Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят она оказалась дамой. После этого две вынутые карты перемешивают и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.
7.	В кармане лежат 5 монет достоинством в 50 коп., 4 монеты по 10 коп. и 1 монета 5 коп. Наугад берут 3 монеты. Какова вероятность того, что в сумме они составляют не более одного рубля?
8.	Из полной колоды карт (52 листа) вынимают одновременно 7 карт. Одну из них смотрят она оказывается королем. После этого её перемешивают с остальными вынутыми картами. Найти вероятность того, что при втором вынимании карты из этих 7-ми снова получим короля.
9.	Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма есть чётное число?
10.	Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят она оказалась тузом. После этого две вынутые карты перемешивают и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом.
11.	Вероятность рождения мальчика равна 0, 515. На семейном совете постановили, что дети в семье будут рождаться до появления второго мальчика. Haйти вероятность того, что в семье будет четверо детей.
12.	В шкафу находится 9 однотипных новых приборов. Для проведения опыта берут наугад три прибора и после работы возвращают их в шкаф. Внешне новые и использованные приборы не отличаются. Найти вероятность того, что после проведения трех опытов в шкафу не останется новых приборов.
13.	Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала по крайней мере одна единица. Какова при этом вероятность того, что выпали две или более единицы?
14.	Фирма рассылает рекламные проспекты восьми потенциальным партнерам. В результате такой рассылки в среднем у каждого пятого потенциального партнера возникает интерес к фирме. Найти вероятность того, что это произойдет не более чем в трех.
15.	Письмо находится в письменном столе с вероятностью 1/8, причём с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова при этом вероятность, что письмо в восьмом ящике?
16.	Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что для этого потребовалось чётное число бросаний. Найти вероятность того, что единица впервые выпадет при втором бросании.

4. РЕШИТЕ ЗАДАЧУ, ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛУ БЕРНУЛЛИ:

1.	Пусть вероятность попадания в цель равна 1/5. Производится 10 независимых выстрелов. Какова вероятность попадания в цель по меньшей мере дважды?
2.	Вероятность получения удачного результата при проведении сложною химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее число равно 7.
3.	Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из восьми случайно взятых в этом месяце дней три дня окажутся дождливыми?
4.	Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при каждом выстреле равна 1/5. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.
5.	Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 4/5. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
6.	Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выигрыша матчей команд общества А против соответствующих команд В можно принять соответственно равными 4/5 для первой (против первой В), 2/5 для второй (против второй В), 2/5 для третьей (против третьей В). Дли победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?
7.	Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости, а игрок Б в то же время - две кости. Эти испытания они проводят последовательно до первою выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятность события А = {впервые «6» появилось у игрока А, а не у Б}.
8.	Считая вероятность рождения мальчика равной 1/2, найти вероятность того, что в семье с 10 детьми 5 мальчиков и 5 девочек.
9.	Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных?
10.	Что вероятнее, выиграть у равносильного противника 3 партии из 4 или 5 из 8?
11.	В микрорайоне девять машин технической службы. Дли бесперебойной работы необходимо, чтобы не меньше восьми машин были в исправном состоянии. Считая вероятность исправного состояния для всех машин одинаковой и равной 0, 9, найти вероятность бесперебойной работы технической службы в микрорайоне.
12.	В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила пять договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит хотя бы один раз.
13.	Три игрока А, Б и В участвуют и игре по следующей схеме. В первом туре играют А и Б, а В свободен. Проигравший заменяется игроком В, и во втором туре играют победитель и В, а игрок, потерпевший поражение в первом туре, свободен. Соревнование продолжается таким образом до тех пор, пока один из игроков не выиграет двух партий подряд и в этом случае его объявляют победителем. Считая игроков равными но силе и исключая возможность ничьих, найти вероятность того, что выиграет игрок А.
14.	Считая вероятность рождения мальчика равной 1/2, найти вероятность того, что в семье с 10 детьми число мальчиков не меньше 3 и не больше 8.
15.	Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью 1/5 оказаться дефектным. Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделии только одно оказалось дефектным?
16.	В одном учебном заведении обучаются 730 студентов. День рождения наудачу выбранного студента приходится на определенный день года с вероятностью 1/365 для каждого из 365 дней. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 января.

5. ИСПОЛЬЗУЯ ФОРМУЛУ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ИЛИ ТЕОРЕМУ БАЙЕСА, ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОС ЗАДАЧИ:

1.	Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах по 2 белых и 3 черных шара в каждой; в третьей и четвертой урнах по 1 белому и 4 черных шара; в пятой урне 4 белых и 1 черный шар. Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым. Чему равна при этом вероятность того, что шар вынут из пятой урны?
2.	При некоторых условиях стрельбы стрелок А поражает мишень с вероятностью p1 = 3/5, стрелок В с вероятностью р2 = 1/2, стрелок С - с вероятностью р3 = 2/5. Стрелки дали залп по мишени, и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет?
3.	Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отличников, 10 хороших студентов и 15 слабых студентов; отличник всегда получает оценку «отлично», хороший студент — «отлично» и «хорошо» с равными вероятностями, слабый студент— «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероятностями. Какова вероятность, что наугад вызванный студент получит оценку «хорошо»?
4.	Среди пациентов туберкулезного диспансера 15% принадлежат к первой категории больных, 66% ко второй и 19% к третьей. Вероятности возникновения заболевания, в зависимости от категории больных, равны соответственно 0, 12, 0, 09 и 0, 2. Найти вероятность возникновения заболевания у наугад выбранного пациента диспансера.
5.	Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, вынимаются наудачу два шара и перекладываются во вторую урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.
6.	На склад поступила однотипная продукции с трех фабрик. Объемы поставок относятся соответственно как 2: 5: 3. Известно, что нестандартных изделий среди продукции первой фабрики 3%, второй - 2%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что взятое наугад со склада изделие произведено первой фабрикой, если известно, что оно оказалось нестандартным.
7.	Предположим, что 5 мужчин из 100 и 20 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина?
8.	Имеется ящик, в котором лежат 20 коробок по 10 карандашей. При вскрытии ящика 4 коробки уронили, и грифели карандашей в них сломались. Однако все 20 коробок были сданы на склад, откуда затем взяли 2 коробки и раздали карандаши ученикам. Найти вероятность того, что доставшийся ученику карандаш имеет сломанный грифель.
9.	В трех урнах содержатся белые и черные шары: в первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй 2 белых и 2 черных шара, в третьей - 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны вынут наудачу шар и переложен во вторую. Далее из второй урны вынут наудачу шар и переложен в третью. Наконец, из третьей урны шар переложен в первую. С какой вероятностью состав шаров во всех урнах не изменится?
10.	Две машинистки печатали рукопись, посменно заменяя друг друга. Первая в конечном итоге напечатала 1, 3 всей рукописи, а вторая - остальное. Первая машинистка делает ошибки с вероятностью 0, 15, а вторая с вероятностью 0, 1. При проверке на 13-й странице обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.
11.	Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно р1 = 1/3, р2 = 1/6, р3 = 1/2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира билеты, имевшиеся в кассе, будут распроданы, для первой кассы равна Р1 = 3/4. дли второй кассы - P2 = 1/2, для третьей кассы Р3 = 2/3. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.
12.	На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлены отлично, четверо хорошо, двое удовлетворительно, один плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на нее 20 вопросов, хорошо подготовленный на 16, удовлетворительно на 10, плохо на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен отлично.
13.	В урне лежат 12 шаров, из них 8 черных и 4 белых. Три игрока А, В и С поочередно тянут шары. Выигрывает тот, кто первым вытянет белый шар. Оценить шансы на успех каждого игрока.
14.	Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту с вероятностью 0, 96. Предлагается упрощенная система испытаний, дающая положительный результат с вероятностью 0, 98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту, с вероятностью 0, 05. Какова вероятность того, что изделие будет забраковано?
15.	Три радиостанции, независимо друг от друга, передают самолету один и тот же сигнал. Вероятности того, что самолетом будут приняты эти сигналы, соответственно равны: 0, 9, 0, 8 и 0, 75. Найти вероятность того, что самолет примет посылаемый ему сигнал.
16.	Пусть имеется пить урн. В двух из них лежит по одному белому и трем черным шарам, а в трех урнах по два белых и два черных шара. Наугад выбирается некоторая урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.