Предельные точки множества. Внутренние, внешние и граничные точки

Пусть M - метрическое пространство, E - какое-либо его подмножество.

Определение 1. Точка называется внутренней для множества E, если у неё существует окрестность , целиком состоящая из точек множества E, т. е. .

Определение 2. Внутренностью множества E в M называется множество всех внутренних точек множества E (обозначение < E> ).

Для любого множества E выполняется условие .

Определение 3. Точка называется внешней для множества E, если у неё существует окрестность , не содержащая ни одной точки из множества E.

Определение 4. Точка называется граничной для множества E, если в каждой её окрестности имеются как точки, принадлежащие множеству E, так и точки, не принадлежащие ему.

Определение 5. Множество всех граничных точек для множества E называется границей E и обозначается .

Как следует из этих определений, любая точка является для данного множества E либо внутренней, либо внешней, либо граничной, причём каждая из этих возможностей исключает две остальные. Множество E содержит все свои внутренние точки и не содержит внешних точек; граничные точки могут, как принадлежать, так и не принадлежать этому множеству.

Определение 6. Точка называется изолированной точкой множества E, если у неё существует окрестность такая, что .

Определение 7. Точка называется точкой прикосновения множества , если любая окрестность содержит, хотя бы одну точку множества E, т. е. .

Определение 8. Точка называется предельной точкой множества , если любая окрестность содержит, хотя бы одну точку множества E, отличную от точки a, т. е. .