Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Определение первообразной. Основное свойство первообразной



Изучая математику, мы не раз сталкивались со взаимно-обратными операциями. Примерами взаимно-обратных операций являются:   Операция, обратная дифференцированию, называется интегрированием, а процессом, обратным нахождению производной, является процесс нахождения первообразной. Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I, если для любого х из промежутка I выполняется равенство: ИлиПервообразной для функции F(x) называется функция, производная которой равна данной. Задача интегрирования состоит в том, чтобы для заданной функции найти все ее первообразные. Важную роль в решении этой задачи играетпризнак постоянства функции: Если на некотором промежутке I, то функция F - постоянная на этом промежутке. Все первообразные функции а можно записать с помощью одной формулы, которую называют общим видом первообразных для функции f. Основное свойство первообразных: Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F(x) – одна из первообразных для функции f(х) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. В этом утверждении сформулированыдва свойства первообразной 1) какое бы число ни подставить вместо С, получим первообразную для f на промежутке I; 2) какую бы первообразную Ф для f на промежутке I ни взять, можно подобрать такое число С, что для всех х из промежутка I будет выполнено равенство Ф(х) = F(x) + C. Основная задача интегрирования: записать все первообразные для данной функции. Решить её - значит представить первообразную в таком общем виде: F(x)+C   Таблица первообразных некоторых функций Формула нахождения первообразной степенной функции. Если f(x)=xn; то F(x)= Геометрический смысл первообразной Графики первообразных -это кривые, получаемые из одной из них путём параллельного переноса вдоль оси ОУ   Примеры решения заданий Пример 1. Выяснить, является ли функция F (x) = х 3 – 3х + 1 первообразной для функции f(x) = 3(х 2 – 1). Решение: F'(x) = (х 3 – 3х + 1)′ = 3х 2 – 3 = 3(х 2 – 1) = f(x), т. е. F'(x) = f(x), следовательно, F(x) является первообразной для функции f(x). Пример 2. Найти все первообразные функции f(x): f(x) = х 4 + 3х 2 + 5

F(x) =  + 3  +5x=  +  + 5x

 

Правила нахождения первообразных/

Правило 1 Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g. Действительно, так как F'=f и G'=g, по правилу вычисления производной суммы имеем: (F+G)'=F'+G'=f+g. Правило 2 Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf. Действительно, постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому (kF)'=kF'=kf. Выполните задания: Найдите первообразную функций.

f(x) = 4 – х 2;

f(x) = х 3 + 2х 2 + 1

f(x) = х 4 + х 2

f(x) = 5х 4 + х 5

f(x) = 3х + х 2 +6

 



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.