Практическая работа. Тема: Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов на бесконечности и в точке. Краткие теоретические сведения по теме

Практическая работа

Тема: Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Вычисление пределов на бесконечности и в точке

Цель работы: учиться вычислять пределы функций в точке и на бесконечности и в точке

В результате выполнения практической работы обучающийся

должен знать: понятия и методы вычисления предела функции в точке, на бесконечности;

должен уметь: применять методы вычисления предела функции в точке, на бесконечности, раскрывать неопределенности вида .

Форма проведения работы: практикум.

Краткие теоретические сведения по теме

Предел функции в точке ‑ это величина (конечная или бесконечная), к которой стремится значение функции если аргумент функции стремится к данному числу .
Обозначение: .

Если функция непрерывна в точке , то

Пример 1: Найти предел функции в точке .

Решение. Запишем предел функции в точке : . Чтобы найти этот предел подставим вместо переменной число 2, получим: .

Пример 2: Вычислить .

Решение. Подставим вместо переменной число -8, получим: .

Предел функции на ‑ это величина (конечная или бесконечная), к которой стремится значение функции если аргумент функции стремится к .

Обозначение: .

Пример 3: Вычислить .

Решение. В функцию вместо подставим , получим: .

Для раскрытия неопределенности вида необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень числителя или знаменателя.

Пример 4: Вычислите .

Решение. В функцию вместо подставим , получим неопределенность . Для раскрытия такой неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень числителя или знаменателя, т. е. на , получим:

сократим каждую дробь и вновь вместо подставим , получим
.

Пример 5: Вычислите предел функции при и .

Решение. Запишем предел функции при : .

Чтобы найти этот предел вместо переменной подставим , получим:

Применим свойство степеней , получим . Делаем вывод, что степень при бесконечном увеличении показателя приближается к бесконечно малому значению, т. е. стремится к 0:

Теперь запишем предел функции при : .

Чтобы найти этот предел вместо переменной подставим , получим:

Делаем вывод, что при бесконечном увеличении показателя степень бесконечно увеличивается, т. е. стремится к :

Задания на практическую работу:

1. Вычислить пределы функций в точке:

а) ;                   в) ;                  д) ;

б) ;                  г)         и) .

2. Вычислить пределы функций на бесконечности:

а) ; в) ; д) ;

ж) ;

б) ; г) ;       е) ;      з) .

Контрольные вопросы:

1. Что называют пределом функции в точке?

2. Как вычислить предел функции в точке?

3. Что называют пределом функции на бесконечности?

4. Как раскрыть неопределенность вида ?

5. Чему равен предел отношения константы к бесконечно большой величине?