Хелпикс

Главная

Контакты

Случайная статья



Дисциплина – Математика



 

ФИО преподавателя Мисюк Татьяна Максимовна

электронная почта musik@inbox. ru

Группа Дата занятия Тема Срок сдачи Форма контроля
Б-21 20 ноября Самостоятельная работа № 5. Тема: Вычисление площади плоской фигуры, длины кривой, объёма и площади тел вращения 22 ноября Решение задач

 

Пример 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

 а) ; б) .

№

План вычисления площади

криволинейной трапеции

Применение плана
шага а) б)
Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией
Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры
Находим пределы интегрирования ,
Вычисляем искомую площадь по формуле (*) ,  (кв. ед. ) ,  (кв. ед. )

Пример 4. Определить площадь S фигуры, заключённой между ветвью кривой y = x2, осью OX и прямыми x = 0, x = 3.

Решение:

 

 

 

Пример 5. Найти площадь S фигуры, заключённой между осью OX и кривой y = x2 – 4x.

Решение: рассмотрим точки пересечения кривой y = x2 – 4x с осью Oх: y = 0;  x2 – 4x = 0  x ( x – 4 ) = 0;  x1 = 0 или x2 = 4. Найдём производную функции , и точки экстремума:  x = 2 – точка min, y(2) = - 4. Искомая площадь ограничена сверху осью OX, снизу графиком функции y = x2 – 4x, слева прямой x = 0, справа прямой x = 4. Так как на отрезке  y < 0, то

 (кв. ед. )

Пример 6.  Найти площадь фигуры, заключённой между линиями y = x3, x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: найдем точки пересечения графика функции  с осью ОХ: y = x3; y = 0  x = 0; Вычислим производную функции: y’ = 3x2; y’ = 0  x = 0 . Найдем значение второй производной в точке х=0: y” = 6x; y” (0) = 0. Вычислим y”(-1) = -=6; y”(1) = 6;  Т. к. y” меняет знак при переходе через х =0  т. (0; 0) – точка перегиба. Искомая площадь состоит из двух частей, поэтому:

 (кв. ед. )

Пример 7. Найти площадь фигуры ограниченной кривой , прямыми

Решение: Построим график функции

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0

Решение: Выполним построение фигуры.

Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.

Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0, 5x + 2, т. е. f(x) = 0, 5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т. е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.



  

© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.