Дисциплина – Математика
ФИО преподавателя Мисюк Татьяна Максимовна
электронная почта musik@inbox. ru
Группа
| Дата
занятия
| Тема
| Срок сдачи
| Форма контроля
| Б-21
| 20 ноября
| Самостоятельная работа № 5.
Тема: Вычисление площади плоской фигуры, длины кривой, объёма и площади тел вращения
| 22 ноября
| Решение задач
|


Пример 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) ; б) .
Пример 4. Определить площадь S фигуры, заключённой между ветвью кривой y = x2, осью OX и прямыми x = 0, x = 3.
Решение:
Пример 5. Найти площадь S фигуры, заключённой между осью OX и кривой y = x2 – 4x.
| Решение: рассмотрим точки пересечения кривой y = x2 – 4x с осью Oх:
y = 0; x2 – 4x = 0 x ( x – 4 ) = 0; x1 = 0 или x2 = 4.
Найдём производную функции , и точки экстремума:
x = 2 – точка min,
y(2) = - 4.
Искомая площадь ограничена сверху осью OX, снизу графиком функции y = x2 – 4x, слева прямой x = 0, справа прямой x = 4. Так как на отрезке y < 0, то
| (кв. ед. )
Пример 6. Найти площадь фигуры, заключённой между линиями y = x3, x=-1, x=2 и осью OX.
| Решение: найдем точки пересечения графика функции с осью ОХ:
y = x3; y = 0 x = 0; Вычислим производную функции: y’ = 3x2; y’ = 0 x = 0 . Найдем значение второй производной в точке х=0: y” = 6x; y” (0) = 0. Вычислим y”(-1) = -=6; y”(1) = 6; Т. к. y” меняет знак при переходе через х =0 т. (0; 0) – точка перегиба. Искомая площадь состоит из двух частей, поэтому:
| (кв. ед. )
Пример 7. Найти площадь фигуры ограниченной кривой , прямыми 
Решение: Построим график функции


Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x - 2y + 4 = 0, y = 0 и x + y – 5 = 0
Решение: Выполним построение фигуры.
Построим прямую x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = -4, A( -4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Построим прямую x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0); x = 0, y = 5, D(0; 5).
Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:
Для вычисления искомой площади разобьем треугольник AMC на два треугольника AMN и NMC, так как при изменении x от A до N площадь ограничена прямой x - 2y + 4 = 0, а при изменении x от N до С – прямой x + y – 5 = 0.
Для треугольника AMN имеем: x - 2y + 4 = 0; y = 0, 5x + 2, т. е. f(x) = 0, 5x + 2, a = -4, b = 2. Для треугольника NMC имеем: x + y – 5 = 0, y = 5 – x, т. е. f(x) = 5 – x, a = 2, b = 5.

Ответ. S = 13, 5 кв. ед.
|