Тригонометрические подстановки
Тригонометрические подстановки
q Интегралы вида
; ; 
интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:
;
;
.
Пример 9. 19. Найти интеграл .
Решение:


.
Принимая во внимание, что , упростим полученный ответ:
.
Замечание 9. 2
Для интегралов вида , , также можно использовать тригонометрические подстановки. Однако проще их вычислять, делая замену или .
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
q Интеграл вида
,
где ― рациональная функция своих аргументов и , всегда можно проинтегрировать с помощью универсальной подстановки :
;
; .
Таким образом, в результате сделанной подстановки исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции переменной t, то есть .
Пример 9. 20. Найти интеграл .
Решение:

.
Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать любую функцию вида . Однако на практике она часто приводит к получению сложных интегралов от рациональных функций. Поэтому полезно знать и другие подстановки.
q В интеграле вида рационально сделать подстановку
.
Пример 9. 21. Найти интеграл .
Решение:

.
q Интегралы вида берутся с помощью подстановки
.
q В интегралах вида , где и содержатся в четных степенях, делается подстановка
.
q В интегралах вида , где хотя бы один из показателей степеней нечетный, например n, а m — любое число, следует применить формулу . В частности, если — нечетное число, то

.
q В интегралах вида , где m и n — четные неотрицательные, используются формулы понижения степени
; .
q Интегралы вида
; ; ,
где , берутся при помощи следующих формул:

q Интегралы вида
; ,
где — целое число, берутся, если к подынтегральной функции прибавить и отнять (или ) и применить формулу (или ).
Пример 9. 23. Найти интеграл .
Решение:



.
q Иногда полезно использовать тригонометрическое тождество . Это удобно, если под знаком интеграла стоят выражения и , где n — четное неотрицательное число.
Пример 9. 24. Найти интеграл .
Решение:


.
|