Тригонометрические подстановки

Тригонометрические подстановки

q Интегралы вида

; ;

интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:

;

Пример 9. 19. Найти интеграл .

Решение:

Принимая во внимание, что , упростим полученный ответ:

Замечание 9. 2

Для интегралов вида , , также можно использовать тригонометрические подстановки. Однако проще их вычислять, делая замену или .

Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

q Интеграл вида

где ― рациональная функция своих аргументов и , всегда можно проинтегрировать с помощью универсальной подстановки :

;

; .

Таким образом, в результате сделанной подстановки исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции переменной t, то есть .

Пример 9. 20. Найти интеграл .

Решение:

Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать любую функцию вида . Однако на практике она часто приводит к получению сложных интегралов от рациональных функций. Поэтому полезно знать и другие подстановки.

q В интеграле вида рационально сделать подстановку

Пример 9. 21. Найти интеграл .

Решение:

q Интегралы вида берутся с помощью подстановки

q В интегралах вида , где и содержатся в четных степенях, делается подстановка

q В интегралах вида , где хотя бы один из показателей степеней нечетный, например n, а m — любое число, следует применить формулу . В частности, если — нечетное число, то

q В интегралах вида , где m и n — четные неотрицательные, используются формулы понижения степени

; .

q Интегралы вида

; ; ,

где , берутся при помощи следующих формул:

q Интегралы вида

; ,

где — целое число, берутся, если к подынтегральной функции прибавить и отнять (или ) и применить формулу (или ).

Пример 9. 23. Найти интеграл .

Решение:

q Иногда полезно использовать тригонометрическое тождество . Это удобно, если под знаком интеграла стоят выражения и , где n — четное неотрицательное число.

Пример 9. 24. Найти интеграл .

Решение: