|
|||
Несобственные интегралы. 1. Интегралы с бесконечными пределами.. Геометрический смысл несобственного интеграла.. 2. Интеграл от разрывной функции.Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция определена и непрерывна для всех значений x, таких, что . Определение. Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции на интервале и обозначается . Следовательно, . Говорят, что в этом случае несобственный интеграл существует или сходится. Если предел не является конечным, то говорят, что не существует или расходится. Геометрический смысл несобственного интеграла. Если , то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями , x=a и осью OX. Аналогичным образом определяются несобственные интегралы для других бесконечных интервалов: , . Последнее равенство означает, что если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится), по определению, и интеграл, стоящий слева. Примеры: 1) 2) , . Тогда .
2. Интеграл от разрывной функции. Пусть функция определена и непрерывна при , а при x = c функция либо не определена, либо имеет разрыв. Определение. Интеграл от функции , разрывной в точке c, определяется следующим образом: . Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл называется несобственным сходящимся интегралом, в противном случае интеграл называется расходящимся. Пример:
Если функция имеет разрыв в левом конце отрезка [a; c] (т. е. при x = a), то по определению: . Если функция имеет разрыв в некоторой точке внутри отрезка [a; c], то , если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равенства, существуют. Пример:
Таким образом, расходится. Замечание. Если функция , определённая на отрезке [a; b], имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва , то интеграл от функции на отрезке [a; b] определяется следующим образом: , если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то и называется расходящимся.
|
|||
|