Задание: изучить материал урока, выполнить упражнения для самопроверки и домашнее задание.

Урок

Тема: Производные обратной функции и композиции функции.

Цели урока: обеспечить усвоение нового понятия «сложная функция»: определения, умения составления сложной функции и нахождения её производной.

Знать формулы производных обратных тригонометрических функций, и сложных функций.

Уметь находить производные обратных тригонометрических функций, и сложных функций.

Задание: изучить материал урока, выполнить упражнения для самопроверки и домашнее задание.

Ход урока:

1. Изучение нового материала.

Производная обратной функции

Теорема. Если функция , и ее обратная функция имеют производные, то

Сложная функция и ее производная

Если переменная зависит от переменной , а переменная , в свою очередь, зависит от переменной , то есть , то называют сложной функцией. При этом называют промежуточным аргументом, а – окончательным аргументом (иногда называют внутренней функцией, а - внешней функцией).

Составление сложной функции из двух функций называют композицие й этих функций.

Формула дифференцирования сложной функции

то есть производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по окончательному.

Эту формулу применяют, если сложная функция образована одной композицией (имеется лишь один промежуточный аргумент).

Пусть некоторая сложная функция имеет несколько промежуточных аргументов: u, v, w, …, z, то есть

Тогда производную функции по окончательному аргументу х находят по формуле:

Ранее введенные формулы дифференцирования элементарных функций (степенной, показательной, логарифмической, тригонометрической и обратных тригонометрических функций) в случае сложной функции будут иметь следующий вид:

Продифференцировать функцию

12 Следующая ⇒