В2. К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой. Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

ПЗ № 24. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций.

Задание:

1) Опорный конспект.

А)Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t₀ до t₀ + точка перемещается на расстояние: x ( t₀ + ) -x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна: v_a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t₀) материальной точки в момент времени t₀. Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v ( t₀) = x’ ( t₀), т. e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).

Пример. Точка движется прямолинейно по закону S (t)= 2t³ – 0, 5t² + 3t (S – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислить скорость движения точки в момент времени t=1с.

Решение: v( t ) = s ’ ( t ) = 6t²– t + 3, v(1) = 6 – 1 + 3 = 8.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Уравнение касательной.

y = f ( x₀) + f ’( x₀) · ( x – x₀).

Б) Пример 1. Найти производную функции y = .

Решение: По свойству дифференцирования произведения,

.

Используя формулу для нахождения производной показательной и степенной функций, получим: ,

Для нахождения производной использовались правила дифференцирования и таблица производных функций. Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции y = .

Решение: Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

, , .

Ответ: .

Пример 3. Найти производную функции .

Решение: По свойству дифференцирования частного получаем:

Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим:

, , . Ответ: .

Пример 4. а) Найти производную функции .

Решение:

Примените таблицу основных производных и формулы производных линейной комбинации и отношения функций.

Ответ: .

б) Вычислить производную функции y = cos ln ( ).

Решение: Примените таблицу основных производных и формулу производной сложной функции.

y ^/ = sin ln (3x² ) (ln (3x² )) ^/ = sin ln (3x² ) ^/ =

= sin ln (3x² ) .

Ответ: sin ln (3x² ) .

2) Перепишите и заполните пропуски:

А)Пример 1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x³, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 1, в) y(x) = 3x² 4x, x₀ = 2,

г) y(x) = х³ + 7x² 5x+3, x₀ = 3, д) y(x) = е^х, x₀ = ln 7, e) y(x) = 7sinx, x₀ = 0, ж) y(x) = е^3х, x₀ = ln 4.

Решение: угловой коэффициент k равен производной от функции в точке, т. е. k = y ¢ (x₀),

найдем производные и вычислим их в точке x₀

a) б) в)

г)

д) е ^ln⁷= …, е) 7cos x, 7 cos 0 = 7 1 = …,

ж) е³ ^ln⁴= 3 4³ = 3 64 = …

Ответ: a)3, б)1, в)8, г) 64, д) 7, е)7, ж) 192.

Пример 2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 6, α = - arctg 8.

б) Найти α, если y(x) = х³, x₀ = 2.

Решение: а) k = tgα = tg k = tgα = tg k = tgα = tg

k = tgα = tg

б)

Ответ: а)1, , 6, - 8, б) arctg 4.

Пример 3. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.
Решение: Уравнение касательной: y = f ^¢ (x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ^¢(x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = …;
Теперь найдем производную: f ^¢ (x) = (x³) ^¢ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ^¢ (x₀) = f ^¢ (2) = 3 · 2² = 3 4 = …;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Ответ: y = 12x − 16.
Пример 4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x₀= π /2.

Решение: f (x₀) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = …; f ¢ (x) = (2sin x + 5) ¢ = 2cos x;
f ¢ (x₀) = f ¢ (π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Уравнение касательной: y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y =...

Ответ: y = 7.

Пример 5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение: Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. ).

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = – a² – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a² – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a² + 6a + 8 = 0, D = 6² 4 1 8 = 36 32 = …,

а₁= ( 6 2): 2 = 8: 2 = …, а₂ = ( 6 2): 2 = 4: 2 = …,

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18 или y = 6.
Пример 6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение: 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = a³ – 3a² + 3. 3. f '(x) = 3x² – 6x, f '(a) = 3a² – 6a.

Но, с другой стороны, f '(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a² – 6a = 9. 3a² – 6a 9 = 0,

D = ( 6)² 4 3 ( ) = 36 108 = …, а₁= (6 12): 6 = 18: 6 = …,

а₂ = (6 12): 6 = 6: 6 = …,

Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1сл. ) a = – 1; f(– 1) = – 1– 3 + 3 = …; f '(– 1) = 3 + 6 = …;

y = – 1 + 9(x + 1); y = 9x + 8 – уравнение касательной;

2сл. ) a = 3; f(3) = 27–27 + 3 = …; f '(3) = 27 – 18 = …;
y = 3 + 9(x – 3); y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Ответ: y = 9x + 8 и y = 9x – 24.

Пример 7. На параболе у = х² взяты две точки с абсциссами 1 и 3. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Решение: у = х², (1; 1), (3; 9). Найдем уравнение прямой .

4х – 4 = у – 1. у = 4х – 3.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

- угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х₀.

2х₀ = 4. х₀ =... ,

Ответ: в точке (2; 4) касательная параллельна заданной прямой.

Пример 8. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику

функции y = x² + bx + c?

Решение: Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x² + bx + c;

p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x² + bx + c.

Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t², а уравнение

касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p². Составим и решим систему уравнений:

;

2t = 1, 5; t = 0, 75;

p = – t = …,

c = = = …,

b = 1 – 2t = 1 – 2 0, 75 = 1– 1, 5 = …

Ответ: b = – 0, 5; c = 0, 562 5.

Б) Пример 1. Найдите производные функций: а) y = e^x– x⁷, б) у=3е^х+cos2x, в) у = е^х – sinx,

г) у= – ln2x , д) , е) , ж)

Решение: а) б) в) = е^х – cosx; г) ,

д) е)

ж)

Ответ: а) б) в) = е^х –cosx; г) ,

д) е) ж)

Пример 2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=е^хsinx + x² в точке ,

в) у = cos2x + 4x в точке , г) вточке .

Решение: а)

б)

в)

г)

Ответ: а)10, 5; б)1; в)4; г)2.

Пример 3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)
Решение: а) у ¢ (x) = (x ² + sin x) ¢ = (x ²) ¢ + (sin x) ¢ = …x + cos x;
б) у ¢ (x) = (x ³ · cos x) ¢ = (x ³) ¢ · cos x + x ³ · (cos x) ¢ = …x ² · cos x + x ³· (− sin x) =

= x ² · (3cos x − x · sin x),

в) у ¢ (x) = ((x ² + 7x − 7) · e ^x) ¢ = (x ² + 7x − 7) ¢ · e ^x+ (x ² + 7x − 7) · (e ^x) ¢ = (2x + 7) · e ^x+

+(x ² + 7x − 7) · e ^x= e ^x· (2x + 7 + x ² + 7x− 7) = (x ² + …x) · e ^x= x(x + …) · e ^x.

г)
д)

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ: а) у ¢ (x) = 2x + cos x; б) у ¢ (x) = x ² · (3cos x − x · sin x), в) у ¢ (x) = x(x + 9) · e ^x,

г) д)

Пример 4. Найти производные функций: f(x) = e ^2x^{+ 3}; g(x) = sin (x ² + ln x).
Решение: Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e ^x. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e ^t. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ¢ (x) = f ¢ (t) · t ¢ = (e ^t) ¢ · t ¢ = e ^t· t ¢. Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ¢ (x) = e ^t· t ¢ = e ²^x^{+ 3} · (2x + 3) ¢ = e ²^x^{+ 3} · 2 = … · e ²^x^{+ 3}

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x ² + ln x = t. Имеем:

g ¢ (x) = g ¢ (t) · t ¢ = (sin t) ¢ · t ¢ = cos t · t ¢. Обратная замена: t = x ² + ln x. Тогда:

g ¢ (x) = cos (x ² + ln x) · (x ² + ln x) ¢ = cos (x ² + ln x) · (…x + 1/x).

Ответ: f ^¢ (x) = 2 · e ^2x^{+ 3}; g ¢ (x) = (2x + 1/x) · cos (x ² + ln x).
Пример 5. Найти производную функции: а) б)
Решение: а)

б)
Ответ: а) б)

3) Решить задание ( по примерам): А)

1. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с

абсциссой х₀: а) y(x) = x⁴, x₀ = 1, б) y(x) = ln x, x₀ = 2, в) y(x) = 3x² - 4x, x₀ = 4,

г) y(x) = х³ + 7x² - 5x+3, x₀ =5, д) y(x) = е^х, x₀ = ln 8, e) y(x) = 9sinx, x₀ = 0, ж) y(x) = е^3х, x₀ = ln 6.

2. а) Найти угловой коэффициент k, если α = arctg 9, α = - arctg 11.

б) Найти α, если y(x) = х³, x₀ = 4.

3. Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в

точке x₀ = 1.

4. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 4sin x + 5 в точке x₀= π /2.

5. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x² – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 9).

6. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x³ – 3x² + 3, параллельных

прямой y = 24x + 1.

7. На параболе у=х² взяты две точки с абсциссами 1 и 2. Через эти точки проведена прямая.
В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

8. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику
функции y = x² + 2bx + c?

Б)

1. Найдите производные функций: а) y = 2e^x–3x⁷, б) у=5е^х+cos3x, в) у = е^х – cosx,

г) у= – ln4х, д) , е) , ж)

2. Вычислите значение производной функции:

а) у= в точке , б) у=2е^хsinx +3 x² в точке ,

в) у = cos2x + 8x в точке , г) в точке .

3. Найдите производные функций: а) б)

в) г) д)

4. Найти производные функций: f(x) = e ^4x^{+ 3}; g(x) = sin (2x ² + ln x).

5. Найти производные функций: а) б)

4) ТЕСТ.

ЧастьА.

А₁. Найдите производную функции y = e ^-^x -2x⁷. 1) y´ = - e^-^x-14x⁶; 2) y´ = - e^-^x– ; 3) y´ = -e^-^x–2x⁶; 4) y´ = e^-^x-14x⁶.

А₂. Найдите производную функции у=4х³+ е ^-х.

1) у´ =12х²+е ^-х; 2)у´ =12х²– е ^-х; 3) у´ =х⁴- е ^-х; 4) у´ =12х²– хе ^-х-1.

А₃. Найдите производную функции у = x² + sinx в точке х₀ =p.

1) p² -1; 2) 2p + 1; 3) 2p -1; 4) 2p. А₄. Вычислите значение производной функции в точке х_о=2. 1) 10; 2) 12; 3) 8; 4) 6.

А₅. Найдите производную функции у = sinх e^x – 9x³ в точке x_o=0. 1) 0; 2) -1; 3) 1; 4) -9.

А₆. Найдите значение производной функции у = 5cos x – 7x в точке х_о= 0.

1) -14; 2) -7; 3) -9; 4) -2.

А₇. Найдите производную функции .

1) 4х – 6+ ; 2) (2х - 3)²+ ; 3) 8х – 12 + ; 4) 4х – 6 - . А₈. Вычислите значение производной функции в точке х_о= 4.

1) 21; 2) 24; 3) 0; 4) 3, 5.

А₉. Вычислите значение производной функции y = ln(2x+11)+ 5x вточке х_о= -5. 1) 7; 2) -25; 3) 6; 4) 1. А₁₀. Вычислите значение производной функции вточке х_о= .

1) 1; 2) 2; 3) 0; 4) 4.

Часть В.

В₁. Найдите производную функции:

1) ; 2) ;

В2. К графику функции проведена касательная через точку с абсциссой. Вычислите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс.

Скачано с www. znanio. ru