- Автоматизация
- Антропология
- Археология
- Архитектура
- Биология
- Ботаника
- Бухгалтерия
- Военная наука
- Генетика
- География
- Геология
- Демография
- Деревообработка
- Журналистика
- Зоология
- Изобретательство
- Информатика
- Искусство
- История
- Кинематография
- Компьютеризация
- Косметика
- Кулинария
- Культура
- Лексикология
- Лингвистика
- Литература
- Логика
- Маркетинг
- Математика
- Материаловедение
- Медицина
- Менеджмент
- Металлургия
- Метрология
- Механика
- Музыка
- Науковедение
- Образование
- Охрана Труда
- Педагогика
- Полиграфия
- Политология
- Право
- Предпринимательство
- Приборостроение
- Программирование
- Производство
- Промышленность
- Психология
- Радиосвязь
- Религия
- Риторика
- Социология
- Спорт
- Стандартизация
- Статистика
- Строительство
- Технологии
- Торговля
- Транспорт
- Фармакология
- Физика
- Физиология
- Философия
- Финансы
- Химия
- Хозяйство
- Черчение
- Экология
- Экономика
- Электроника
- Электротехника
- Энергетика
Метод вариации постоянных
Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение второго порядка:
y''+ρ x+qy=f(x), (3)
где f(x) – непрерывная функция, отличная от нуля.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения 
неоднородного уравнения (3) и общего решения yосоответствующего однородного уравнения (1):
.
Поскольку нахождение общего решения однородного уравнения мы уже рассмотрели, то остаются рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (3).
1) Пусть правая часть имеет вид f(x)=eα xPn(x), где Pn(x) – многочлен степени n. Тогда частное решение ищем в виде 
, где Qn(x) – многочлен той же степени, что и Pn(x), а r – число, показывающее, сколько раз α является корнем характеристического уравнения.
Пример 4. Найти общее решение уравнения y''–2y'+y=x2+1.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yo=ex(C1+C2x )(см. пример 2). Так как правая часть уравнения является многочленом второй степени и ни один из корней характеристического уравнения 
не равен нулю (К1=К2=1), то частное решение ищем в виде 
, где А, В, С – неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды =Ax2+Bx+C и подставляя =Ax2+Bx+C, 
, 
в данное уравнение находим 2A–4Ax–2B+Ax2+Bx+C=x2+1, или Ax2+(B–4A)x+2A–2B+C=x2+1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем А=1, В-4А=0, 2А-2В+С=1, Находим А=1, В=4, С=7. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид 
, а общее решение - 
.
Пример 5. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид y o=C1ex+C2e–2x (см. пример 1). В правой части данного уравнения стоит произведение многочлена нулевой степени на показательную функцию eα x при α =2. Так как среди корней характеристического уравнения нет корней, равных 2, то частное решение данного уравнения ищем в виде 
=A∙ e2x.
Дифференцируя и подставляя в уравнение получаем:
и 
, откуда 
, 
.
Подставляя найденное значение А в выражение для , найдем частное решение данного уравнения 
и общее решение запишется в виде 
. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям. Для этого продифференцируем у. 
.
Подставляем начальные условия в у и у', находим С1 и С2:
.
Подставляя найденное значение С1 и С2 в выражение для у, найдем частное решение данного уравнения
.
2) Пусть правая часть имеет вид 
и α +β i, (α –β i) не является корнем характеристического уравнения. Тогда частное решение ищем в виде 
.
Если же α +β i, (α –β i) является корнем характеристического уравнения, то частное решение находим в виде 
.
Пример 6. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Здесь характеристическое уравнение К2+1=0 имеет корни К1= i, К2=-i. Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет y=C1cosx+C2sinx. В правой части стоит тригонометрическое функция 
то есть a=0, b=1, β =2. Так как β =2 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде: 
.
Дифференцируя и подставляя его в дифференциальное уравнение, получим 
, откуда 
, т. е. частное решение 
, а общее решение уравнения: 
.
Структура общего решения
Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:
где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:
Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:
Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.
Метод вариации постоянных
Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:
Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение
удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:
|
|
|
© helpiks.su При использовании или копировании материалов прямая ссылка на сайт обязательна.
|