Интегрирование Определенный интеграл

Интегрирование Определенный интеграл

Интеграл с переменным верхним пределом.

Если функция f(t) интегрируема на [a, b], то она интегрируема на любом отрезке [a, х], где a £ x £ b, то есть существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(х) интегрируема на отрезке [a, b], то функция F(x) непрерывна на [a, b].

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(х) непрерывна на [a, b], то функция F(x) дифференцируема на [a, b], причем F ¢ (x) = f(х) на [a, b], то есть F(x) – первообразная для f (х) на [a, b].

СЛЕДСТВИЕ. Всякая первообразная Ф(х) для функции f(х), непрерывной на отрезке [a, b], имеет вид

Формула Ньютона-Лейбница.

ТЕОРЕМА 3. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] и если Ф(х) – какая-нибудь ее первообразная на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления и часто записывают в виде

Замена переменной в определенном интеграле.

ТЕОРЕМА 4. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], а функция х = j(t) обладает следующими свойствами:

1) j(t) – непрерывна на [a, b] и имеет на этом отрезке непрерывную производную;

2) j(t)Î [a, b] " tÎ [a, b],

3) j(a) = a, j(b) = b. Тогда справедлива формула

ЗАМЕЧАНИЕ. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

ТЕОРЕМА 5. Если функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то справедлива формула

ЗАМЕЧАНИЕ. Формулу интегрирования по частям иногда записывают в виде