Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

АВС,

С = 90⁰, АВ = с, АС = b, ВС = а. Доказать: а² + b² = с². Доказательство: 1) Достроим

АВС до квадрата СМЕF со стороной (а + в). 2) Отметим на сторонах квадрата отрезки МК = ЕD = FB = AC = b 3) Рассмотрим

САВ,

МКА,

ЕDК,

FВD:

С =

М =

Е =

F = 90⁰, МК = ЕD = FB = AC = b, МA = ЕK = FD = BC = a,

САВ = МКА = ЕDК = FВD( по двум катетам), значит

S_САВ = S_МКА= S_Е_DК = S_FBD = ab.

4) AB = KA = DK = BD = c (соответственные стороны в равных треугольниках), значит AKDB - ромб;

САВ = FBD, ABC = BDF(соответственные углы в равных треугольниках), но САВ + ABC = 90⁰, FBD + BDF= 90⁰, следовательно ABC + FBD= 90⁰, и АBD = 180⁰ - ABC + FBD = 90⁰.

Получаем, что AKDB – квадрат.

5) S_СМЕ_F= (а + b)².

S_СМЕ_F = 4S_САВ + S_КА_BD= 4· ab + c² = 2ab + c².

(а + b)² = 2ab + c²

a² + 2ab + c² = 2ab + c²,

а² + b² = с².

Ч. т. д.

Теорема обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Дано: АВС, АВ² = АС² + ВС², Доказать: С = 90⁰ Доказательство: 1)Рассмотрим А₁В₁С₁ такой, что С₁ = 90⁰, А₁С₁ = АС, В₁С₁= ВС, тогда по теореме Пифагора А₁В₁² = А₁С₁² + В₁С₁² = АС² + ВС² = АВ². Т. е. А₁В₁² = АВ² А₁В₁ = АВ.

2) Рассмотрим АВС и А₁В₁С₁:

А₁В₁ = АВ, А₁С₁ = АС, В₁С₁= ВС,

АВС = А₁В₁С₁( по трем сторонам).

3) С = С₁ = 90⁰(соответственные углы в равных треугольниках),

Ч. т. д.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Дано: ABCD – трапеция, BC||AD АD = а, ВС = b, BH AD, ВH = h. Доказать: S_ABCD = (a + b) · h. Доказательство: 1) Построим диагональ ВD и DH₁ BC, 2). S_ABCD = S_ABD + S_DC_В (по свойству 2⁰)

3) BH = DH₁( расстояние между BC||AD)

4). S_ABCD = S_ABD + S_DC_В = AD·BH +. BC·DH₁ =

= ( AD+BC) ·BH = (a + b) · h.

Ч. т. д.